Espacios vectoriales

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ESPACIOS VECTORIALES
Los conjuntos que serian vectores en el plano y que son los vectores en el espacio estos tienen barias propiedades. Si se suman dos vectores en lo que se obtiene es otro vector .
Ante la adición los vectores conmutan y obedecen la ley de la asociatividad. Si x entonces x + 0= x y x + (-x) = 0. En se pueden multiplicar vectores por escalares, obteniéndosevarias leyes de distribución . En son validas las mismas propiedades.
A los conjuntos y se les llama espacios vectoriales. De manera intuitiva puede decirse que un espacio vectorial es un conjunto de objetos que obedecen las reglas descritas en lo ya mencionado.

DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL
Espacio vectorial un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectoresjunto con dos operaciones llamadas adicion y multiplicacion por una escalar que satisfacen los diez axiomas.
Si X y Y estan en V y si es un numero real, entonces la suma de x y y se representan por x + y y el producto de x por escalar se representa por x.
Cabe mencionar que aun cuando puede ser util pensar en o en al tratar con un espacio vectorial a menudo sucede de que un espaciovectorial tiene un aspecto muy diferente al de aquellos como dos espacios. Como segunda obserbacion la definicion de espacio vectorial que acabo de dar solo define un espacio vectorial real. Esto significa que los escalares empleados son numeros reales. Resultaria igualmente facil definir espacios vectoriales complejos empleando numeros complejos en vez de numeros reales.

AXIOMAS DE UN ESPACIOVECTORIAL
1. Si X V y Y V, entonces x+y V (cerradura contra la adicion)
2. Si x, y y z xon elementos cualesquiera de V entonces (x+y) + z= x + (y+z) (ley de la adicion vectorial.
3. Existe un vector 0 V tal que paresca todo x V, x+0=0+x=x(al cero se le llama vector cero o identidad aditiva)
4. aditivo de x)
5. Si x y y estan en v entonces x+y=y+x (ley de la conmutativa de la adicionvectorial)
6. Si x V y es una escalar entonces x V (cerradura ante la multiplicacion por una escalar)
7. Si x y y estan en V y es una escalar , entonces (x+y)= x + y(primera ley de la distribucion)
8. Si x V y y son escalares entonces ( + )x- x+ x (segunda ley de distribucion)
9. Si x V y y son escalares entonces ( x)(ley d ela asociatividad d ela multiplicacion por unaescalar)
10. Para todo vector x V 1x= (al escalar) se llama identidad multiplicativa)
EJEMPLOS
1. El conjunto d epuntos en que se encuentra sobre una recta pasa por el origen constituye un espacio vectorial
Sea
V={(X,Y): Y=mx, donde m e sun numero real fijo y x es un numero real arbitrario}
Es decir, V conciste en todos los puntos situados sobre la recta y= mx que pasa por el origen conpendiente m. A fin de mostrar que V es un espacio vectorial, debe comprobarse que satisface todos los axiomas
1. supongase que x=(x1,y1) y y=(x2,y2)estan en V. entonces y1=mx1,y2=mx2,y
X+y=(xi,y1)+(x2,y2)=(x1,mx1)+(x2,mx2)=x1+x2,mx1+mx2)=(x1+x2,m(x1+x2) E V
Por tanto la axioma ise satisface
2. Supongase que Z=(x3,y3)=(x3,mx3) esta en V entonces
(x+y)+ z= |(x1,y1)+(x2,y2)|+(x3,y3)
=(x1+x2mx+mx2)+(x3,mx3)
=(x1+x2+x3,mx1+mx1+mx2+mx3)
=(x1,+mx2)+(x2+x3,mx2+mx3)
=(x1,mx1)+(x2+x3,mx2+mx3)
=(x1,y1)[(x2,y2)+(x3,y3)]=x+(y+z)
3. Sea 0=(0,0)=(o,m.0) E V entonces x+0=(x1,mx1)+(0,0)=(x1+0,mx1+0)=(x1,mx1)=x
4. IF x=(x1,mx1), let-x=(-x1,-mx1)then
X+(-x)=(x1-x1,mx1-mx1)=(0,0)=0
5. x+y(x1,mx1)+(x2,mx2)= (x1+x2,mx1+mx2)
=(x2+x1,mx2+mx1)
=(x2,mx2)+(x1.mx1)=y+x
6.ax=a(x1,mx1)=(ax1,amx1)=ax1,m(ax1)) E V
7. a(x+y)=a(x1+x2,mx1+mx2)=(ax1+ax2,amx1+amx2)
=(ax1,amx1)+(ax2,amx2)
=a(x1,mx2)+a(x2,mx2)=ax+ay
8. (a+B)x=(a+B)(x1,mx1)=((a+B)x1,(a+B)mx1)
=(ax1+Bx1,amX1+Bmx1)=(ax1,amx1)+(Bx1,Bmx1)
=a(ax1.mx1)+B(x1,mx1)=ax+Bx
9. a(Bx)= a[B(x1,mx1)]=a(Bx1,Bmx1)=(aBx1,aBmx1)
=aB(x1,mx1)=aBx
1 0.1X=1(X1,MX1)=(1.X1,1.MX1)=(X1,MX1)=X
En conclucion se satisfacen los diez axiomas, y se ve que...
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