ESPACIOS VECTORIALES



























1 Definición de espacio vectorial.
Sea V un conjunto cualesquiera no vacío de objetos sobre el que están definidas dos operaciones: la adición y la multiplicación por escalares (números). Por adición se entiende una regla que asocia a cada par de objetos u y v en V un objeto u+v denominado suma de u y v; por multiplicación escalar se entiendeuna regla que asocia a cada escalar k y cada objeto u en V un objeto denominado ku , denominado múltiplo escalar de u por k. Si los objetos u,v,w en V y los escalares k y l satisfacen los siguientes axiomas, entonces V se denomina espacio vectorial, y sus objetos se denominan vectores.
1 Si u y v son objetos en V, entonces u+v está en V
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4 Existe un objeto 0 en V, denominado vector cerode V, tal que para todo u en V.
5 Para todo u en V existe un objeto –u en V, denominado negativo de u, tal que
6 Si k es cualquier escalar y u es cualquier objeto en V, entonces ku está en V.
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2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.

Definición: un subconjunto W de un espacio vectorial V se denomina subespacio de V si W es un espacio vectorial bajo laadición y la multiplicación escalar definidas sobre V.
Teorema: si W es un conjunto formado por uno o más vectores de un espacio vectorial V, entonces W es un subespacio de V si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:
1 Si u y v son vectores en W, entonces u+v está en W
2 Si k es cualquier escalar y u es cualquier vector en W, entonces ku está en W.
Si Ax=0 es un sistema lineal homogéneo dem ecuaciones con n incógnitas, entonces el conjunto de vectores solución es un subespacio vectorial.




3 Combinación lineal. Independencia lineal.
Definición: Un vector w se denomina combinación lineal de los vectores si se puede expresar en la forma
donde
Ejemplo: Todo vector en R3 se puede expresar como una combinación lineal de los vectores estándares básicos.

Ya que:Ejemplo: Considerar los vectores y en R3. Demostrar que es una combinación lineal de u y v y que no es una combinación lineal de u y v.
Solución: Para que w sea una combinación lineal de u y v, deben existir escalares tales que , es decir,

O bien,

Igualando las componentes correspondientes se obtiene



La solución del sistema es de modo que

De manera semejante, para que w' seauna combinación lineal de u y v deben existir escalares tales que , es decir,

O bien,

Igualando las componentes correspondientes se obtiene



Este sistema es inconsistente, en consecuencia no es una combinación lineal de u y v.
Si son vectores en un espacio vectorial V, entonces:
a El conjunto W de todas las combinaciones lineales de es un subespacio de V.
b W es el menorsubespacio de V que contiene a en el sentido de que cualquier otro subespacio de V que contenga a debe contener a W.
Definición de independencia lineal: Si es un conjunto no vacío de vectores, entonces la ecuación vectorial

Tiene por lo menos una solución a saber,

Si esta es la única solución entonces S se denomina linealmente independiente. Si existen otras soluciones, entonces S se denominaconjunto linealmente dependiente.
Ejemplo: Si , entonces el conjunto de vectores es linealmente dependiente ya que 3
Un conjunto de vectores S con dos o más vectores es:
a Linealmente independiente si y solo si por lo menos uno de los vectores en S puede expresarse como una combinación lineal de los demás vectores en S.
b Linealmente independiente si y solo si, si ningún vector en S se puedeexpresar como una combinación lineal de los demás vectores en S.
El siguiente teorema establece dos hechos sencillos sobre independencia lineal que es importante conocer.
a Un conjunto finito de vectores que contiene el vector cero es linealmente dependiente.
b Un conjunto con exactamente dos vectores es linealmente independiente si y solo si ninguno de los vectores es un múltiplo escalar...