Espacios vectoriales

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Espacios vectoriales

Definición de espacios vectoriales:

Si V es un conjunto no vacio donde existen dos operaciones. Donde una es llamada suma de vectores y la otra multiplicación de unaescalar por un vector.

La suma de vectores es una función qué asocia dos vectores, digase u y v un tercer vector a este se le representara como u+v .

la multiplicación es una regla que asocia auna escalar y a un vector , igase c y uun segundo vector rrepresentado por c*u.

se dira que el conjuhnto V se llama espacio vectorialsi cumple con los siguientes axiomas:

para cualquiera dosvectores u y v en V

A1 u+v=V

se le conoce como cerradura bajo la suma (la suma de los elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento el conjunto).

A2 u+v=v+uSe conoce como la conmutatividad de la suma (el orden de los factores no altera la suma).

Para cualquiera tres vectores u, v y w enV

A3 u+(v+w)=(u+v)+w

Se conoce como laasociatividad de la suma.

Teoremas de espacios vectoriales:

Teorema 1

Un subconjunto no vacio H es un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura. Este teoremademuestra que para probar si H es o no un subespacio de V, es suficiente verificar que

u + v y cu están en H cuando u y v están en H y c es un escalar.

Lo anterior dice que:

Todosubespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.

Ejemplo

El subespacio trivial Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto 0 que consiste en el vector cero nada más es un subespacio ya que0+0= 0 y c0 = 0 para todo número real c.

Teorema 2

Sean H1 y H2 dos subespacios de un espacio vectorial V. Entonces

H1 H2 es un subespacio de V.

Independencia lineal

Dependencia éindependencia lineal sean v1, v2, ……………,vn, n vectores en un espacio vectorial V. entonces se dice que los vectores son lineamientos dependientes si existen n escalares no todos cero tales que

c1...
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