Espacios Vectoriales

INTRODUCCION

A CONTINUACION PRESENTAREMOS UN TRABAJO DE INVESTIGACION, EL CUAL HABLA SOBRE LOS VECTORES, SUS PROPIEDADES, Y LAS MANERAS EN QUE SE PUEDEN UTILIZAR, PARA RESOLVERLOS DE DIFERENTES FORMAS, Y COMO ES QUE EXISTEN TIPOS PARA RESOLVERLOS PARA DIFERENTES APLICACIONES.
VEREMOS EL PORQUE DE CADA DEFINICION, A FIN DE CUENTAS ENTENDEREMOS LAS OCUPACIONES Y APLICACIONES, TANTO LAIMPORTANCIA DE SABER RESOLVER LOS DIFERENTES TIPOS DE PROBLEMAS CON VECTORES. YA QUE TAL VEZ EN UN FUTURO PODEMOS OCUPARLAS, Y ESTAN PRESENTES EN LA VIDA COTIDIANA. EN ALGUNOS CASOS PRESENTAMOS EJEMPLOS DE COMO RESOLVERLOS, CON SU RESPECTIVA SOLUCION.
LA BUSQUEDA DE LA INFORMACION ESTA RECOPILADA DE FUENTES DE CONFIANZA, COMO LOS LIBROS, DE AUTORES RECONOCIDOS, Y DE LOS CUALES PODEMOS ASPIRAR MUCHO. LAINFORMACION A CONTINUACION FUE EXTRAIDA DE MUCHOS LIBROS, Y FUSIONADA PARA TENER LA INFORMACION CONCISA, BREVE Y CORRECTA DE CADA UNO DE LOS TEMAS QUE SE PRESENTARAN.

4.- ESPACIOS VECTORIALES
4.1 DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL
Sea K un campo. Un espacio vectorial sobre K, o también llamado un K-espacio vectorial, consta de lo siguiente:
1. Un conjunto V , cuyos elementos se llaman vectores.2. Una operación binaria en V , llamada adición de vectores (o suma de vectores), denotada por +, y que cumple lo siguiente:
La suma es conmutativa, es decir, para todos v y u en V se tiene
v + u = u + v.
La suma es asociativa, es decir, para todos v, u y w en V se tiene
(v + u) + w = v + (u + w).
Existe un ´único vector 0 en V tal que v+0 = v para todo v en V .
A 0 se le Para todo v en Vexiste un ´único vector −v, llamado el inverso aditivo de v, tal que v + (−v) = 0.
3. Una operación binaria de K × V en V , llamada la multiplicación escalar, que a cada escalar a en K y cada vector v en V les asocia otro vector av en V , y que cumple:
Para todo v en V , 1v = v.
Para cualesquiera a, b en K, y cualquier v en V , (ab)v = a(bv).
4. Además, pedimos que se cumplan las dos leyesdistributivas: Para todo a en K, y para cualesquiera v y u en
V , a(v + u) =av + au.
Para cualesquiera a, b en K, y cualquier v en V , (a+b)v = av+bv.
Observación 165. Usando inducción es posible generalizar varias de las
Propiedades anteriores a un numero finito de vectores y/o escalares.

Notación. En lo sucesivo, K denotar ‘a un campo y V un K-espacio vectorial, a menos que se diga locontrario explícitamente. Además, escribiremos v − u en lugar de v + (−u).

4.2 DEFINICION DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES.
Sea E un espacio vectorial sobre K. Un subespacio es un conjunto no vacío de vectores que es un espacio vectorial para las mismas operaciones.
Un conjunto de vectores F no vacío es un subespacio si y solo si para
Cualesquiera a,b ∈ F y λ ∈ K los vectores a + b y λaestán en F.
Llamaremos espacio vectorial sobre R a una terna (V, +, .), donde:
ß V = { a , b , c ... } es un conjunto a cuyos elementos llamaremos vectores.
ß + es una ley de composición interna en V.
ß . es una ley de composición externa en V con operadores en R.
cumpliéndose, cualesquiera que sean a , b , c ..V; ,…R:
1.1) a + b = b + a 2.1) .(a + b) = .a + .b
1.2) a + (b + c) = (a +b) + c 2.2)
1.3) 0 V tal que a + 0 = a 2.3)

Al vector 0 le llamaremos vector nulo; al vector -a, opuesto de a, y a los elementos V, ... de R , escalares.

Sea V un K-espacio vectorial, y sean v1, . . . , vn vectores en
V . Una combinación lineal de los vectores v1, . . . , vn sobre el campo K es
un vector de la forma
Pni=1 aivi,
donde a1, . . . , an son escalares en K. Si n = 1,llamamos al vector av un múltiplo escalar del vector v. Por definición, la combinación lineal vacía (es decir, de una familia vacía de vectores) es el vector cero.

4.3 COMBINACION LINEAL. INDEPENDENCIA LINEAL
COMBINACION LINEAL

Sea V un K-espacio vectorial, y sean v1, . . . , vn vectores en
V . Una combinación lineal de los vectores v1, . . . , vn sobre el campo K es
un vector de la forma...