Espais Vectorials

2. Espais vectorials, matrius,
determinants i sistemes
d’equacions lineals

2.1 Definicions
´
Un espai vectorial es una estructura algebraica com tamb´ ho s´ n el cone
o
cepte de grup, d’anell o el de cos. Ac´ considerarem exclusivament espais vecı
torials sobre el cos commutatiu (R, +, ·), encara que la definici´ de tal concepte
o
es pot fer sobre qualsevol altre cos.
Definici´ 2.1.1 Esdiu que un conjunt V t´ estructura d’espai vectorial, si:
o
e
• En V hi ha definida una llei de composici´ interna ‘+’ de manera que
o
(V, +) es un grup commutatiu.
´
• Hi ha una llei de composici´ externa, denotada per ‘·’,
o

R×V

−→
V
→
→
(α, − ) −→ α · −
v
v

→ →
que satisf` les seg¨ ents propietats ∀α, β ∈ R, ∀− , − ∈ V ,
a
u
v w
→ →
→
→
(i) α · (− + − ) = α · − +α · − ,
v
w
v
w

→
→
→
(ii) (α + β) · − = α · − + β · − ,
v
v
v

→
→
(iii) α · (β · − ) = (αβ) · − ,
v
v
→ →
(iv) 1 · − = − .
v
v

19

Denotarem l’element neutre de R per 0 i l’element neutre de (V, +) tamb´
e
per 0. Encara que es denoten amb el mateix s´mbol, el context permetr` deduir
ı
a
quan es tracta d’un escalar o d’un vector. Els elements de V es diuen vectorsi els
→ → → → →
de R escalars. Els vectors es denotaran amb lletres llatines, − , − , − , v − , − , . . . ,
x y z v w
i els escalars amb lletres gregues, α, β, γ, λ, µ, ....
Nota. El signe ‘·’ denota la llei de composici´ externa i d’ara endavant a vegades
o
es suprimir` . Aix` es far` aix´ sempre que no hi haja lloc a confusi´ .
a
o
a ı
o
Exemples.
n

´
• (R , +, ·) es un espaivectorial.
• El conjunt de vectors fixos del pla ordinari que tenen un mateix punt origen.
n

• El conjunt, R [x], de polinomis d’una variable indeterminada, x, amb
coeficients en R, de grau n, amb la suma de polinomis i el producte d’un
escalar per un polinomi.
Propietats. De la definici´ d’espai vectorial es compleix que
o
→
• 0 · − = α · 0 = 0,
v

→
∀α ∈ R, ∀− ∈ V .
v

→
→
→
• α· (−− ) = (−α) · − = −(α · − ),
v
v
v

→
∀α ∈ R, ∀− ∈ V .
v

→
´ e→
• α · − = 0 implica que o b´ α = 0 o b´ − = 0.
v
e
v

→
→
→ →
• Si α · − = α · − i l’escalar α = 0, aleshores − = − .
v
w
v
w
→
→
→
• Si α · − = β · − i el vector − = 0, aleshores α = β.
v
v
v

2.2 Subespais vectorials
Definici´ 2.2.1 Siga (V, +, ·) un espai vectorial i siga H un subconjunt de V .o
Direm que H es un subespai vectorial de V si H es un espai vectorial amb les
´
´
mateixes operacions.
Exemples.
2

(i) Siga V = R [x] l’espai vectorial dels polinomis de coeficients reals de
grau menor o igual que 2. El subconjunt de polinomis de V que s’anul·len
´
en x = 1 es un subespai vectorial de V . Per` el subconjunt de polinomis
o
´
de V que en x = 1 prenen el valor 2 no hoes.
20

Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals
3

´
(ii) Siga V = R , el subconjunt de vectors (x, y, z) tals que 2x − z = 0 es un
subespai vectorial de V . Per` el subconjunt de vectors (x, y, z) tals que
o
´
2x − z = −2 no ho es.
Proposici´ 2.2.2 Caracterizaci´ dels subespais vectorials. Siga (V, +, ·) un
o
o
espai vectorial i siga H unsubconjunt de V . Aleshores, H es un subespai
´
− , − ∈ H, es compleix que
→ →
vectorial de V si i nom´ s si ∀ v w
e
→
→
α · − + β · − ∈ H,
v
w
per a qualsevol α, β ∈ R.
2

Exemples. Considerem l’espai vectorial dels vectors en el pla R i els seg¨ ents
u
subespais
2

H1 = {(x, y) ∈ R / x + y = 0}

,

2

H2 = {(x, y) ∈ R / x + y = 2}.
2

´
´
Anem a provar que H1 es un subespaivectorial de R per` que H2 no ho es.
o
− = (v , v ) i − = (w , w ) elements de H (´ s a dir, verifiquen
→
→
Siguen v
w
1 2
1
2
1 e
que v1 + v2 = 0 i que w1 + w2 = 0) i siguen α, β ∈ R. Vejam que l’element
→
→
α · − + β · − tamb´ es un element de H1 siguen els que siguen α i β,
v
w
e´
→
→
α · − + β · − = (αv1 , αv2 ) + (βw1 , βw2 ) = (αv1 + βw1 , αv2 + βw2 ),
v
w
´
i es...