Esperanza matematica

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Problemas de esperanza matemática
1. Un juego consiste en tirar dos dados. Si la suma de sus caras es mayor o igual a 10 se ganan Q300, si está comprendida entre 7 y 9 se ganan Q100 y paracualquier otro resultado no se gana nada. ¿Cuál debería ser el precio de la apuesta para que la ganancia esperada de la banca sea de Q50?

Solución:
El espacio muestral para el problema es S = {(1,1),(1,2), (1,3), ..., (6,6)} con 36 puntos muestrales. Todos los sucesos elementales tiene la misma probabilidad 1/36.
Se define la V.A. X: suma de las dos caras. Esta variable puede tomar los valores 2,3, 4, hasta 12. La tabla con la fdp respectiva es:
x | Sucesos | P(x) |
2 | {(1,1)} | 1/36 |
3 | {(1,2), (2,1)} | 2/36 |
4 | {(1,3), (2,2), (3,1)} | 3/36 |
5 | {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}| 4/36 |
6 | {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} | 5/36 |
7 | {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} | 6/36 |
8 | {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} | 5/36 |
9 | {(3,6), (4,5), (5,4),(6,3)} | 4/36 |
10 | {(4,6), (5,5), (6,4)} | 3/36 |
11 | {(5,6), (6,5)} | 2/36 |
12 | {(6,6)} | 1/36 |
La tabla de la función premio es:
x | h(x) |
2, 3, 4, 5 ó 6 | 0 |
7, 8 ó 9 | 100 |10, 11 ó 12 | 300 |

Por lo tanto el valor esperado del premio es:

en consecuencia, la apuesta debería costar 91,7 + 50 = 141,7 para que la ganancia esperada de la banca sea Q50.

2. Lasiguiente tabla muestra la fdp para la variable X: número de personas por día que solicitan un tratamiento innecesario en el servicio de urgencias de un pequeño hospital.
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |f(x) | 0,01 | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,1 | ? |

a. Encontrar f(5)
b. Construir F(x)
c. Encontrar p(X≤2)
d. Encontrar p(X3)
f. Calcular la media y la varianza
Solución:
a. Por la construcción delas fdps es obvio que

.
Para que se cumpla esta condición es necesario que f(5)=0,09

b.
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
f(x) | 0,01 | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,1 | 0,09 |
F(x) | 0,01 | 0,11 |...
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