estabilidad de Liapunov


INTRODUCCIÓN

En el Siguiente Trabajo de teoría Moderna de control hablaremos sobre el análisis de estabilidad de Liapunov y después presenta los sistemas de control óptimo cuadrático. Se utiliza el método de estabilidad de Liapunov a fin de asentar la base para el diseño de sistemas de control óptimo cuadrático. Existen muchos enfoques para el análisis de la estabilidad de los sistemas decontrol lineales e invariantes con el tiempo. Sin embargo, para los sistemas no lineales y/o los sistemas variantes con el tiempo, el análisis de estabilidad resulta muy difícil o imposible. El análisis de estabilidad de Liapunov es un método que se aplica para encontrar respuestas a las preguntas sobre la estabilidad de los sistemas no lineales.
Por otra parte se estudiara Controlabilidad desistemas lineales: definiciones y caracterización, Matriz de controlabilidad. Observabilidad de sistemas lineales: definiciones, conceptos y caracterización, Matriz de observabilidad.
























ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE LYAPUNOV



Segundo método de Liapunov (también es conocido como método directo de Liapunov) que se va a presentar en esta sección es elmétodo más general para la determinación de la estabilidad de los sistemas no lineales y/o variantes con el tiempo. Por supuesto, este método se aplica a la determinación de la estabilidad de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Además, el segundo método es útil para resolver problemas de control óptimo cuadrático.
Segundo método de Liapunov. En 1892,A. M. Liapunov presentó dosmétodos (llamados el primero y el segundo) para determinar la estabilidad de los sistemas dinámicos descritos mediante ecuaciones diferenciales ordinarias. El primer método se compone de todos los procedimientos en los cuales se usa la forma explícita de la solución de las ecuaciones diferenciales para el análisis. En cambio, el segundo método no requiere de las soluciones de las ecuacionesdiferenciales.
Es decir, mediante el segundo método de Liapunov, se determina la estabilidad de un sistema sin resolver las ecuaciones de estado. Esto ofrece una gran ventaja porque por lo general, es muy difícil despejar las ecuaciones de estado no lineales y/o variantes con el tiempo. Aunque el segundo método de Liapunov, cuando se aplica al análisis de estabilidad de los sistemas no lineales, requiere demucha experiencia e ingenio, contesta a la pregunta de la estabilidad de los sistemas no lineales cuando otros métodos fracasan.
El sistema que consideramos se define mediante
x = f(x, t) 1-a
en donde x es el vector de estado (vector de dimensión n) y f(x, f) es un vector de dimensión n cuyos elementos son funciones de (x1,x2,…xn), . . . , xn y t. Suponemos que el sistema de la ecuación (1-a) tiene una solución única que empieza en la condición inicial dada. Representaremos la solución de la ecuación (1-a) como (t; x0, to), en donde x =xo en t = to y t es el tiempo observado. Por tanto,
ф(to¡xo, to) = xo

Estado de equilibrio. En el sistema de la ecuación (1-a= un estado xe en el que
f(Xe, f) = 0 para toda r1-b
se denomina estado de equilibrio del sistema. Si el sistema es lineal e invariante con el tiempo, es decir, si f(x, t) = Ax, entonces sólo existe un estado de equilibrio si A es no singular, y existen infinitamente muchos estados de equilibrio si A es singular. Para los sistemas no lineales, pueden existir uno o más estados de equilibrio. Estos estados corresponden a las solucionesconstantes del sistema (x = xe para toda t). La determinación de los estados de equilibrio no involucra la solución de las ecuaciones diferenciales del sistema, ecuación (1-a) sino sólo la solución de la ecuación (1-b). Un estado de equilibrio aislado (es decir, aislado uno de otro) se cambia al origen de las coordenadas o f(0, t) = 0, mediante una traslación de coordenadas. En esta sección y...