Estabilidad De Sistemas

ESTABILIDAD DEFINICIÓN DE ESTABILIDAD Existen varias definiciones para la estabilidad, que no tienen necesariamente porque coincidir. Así por ejemplo, se dice que un sistema es estable cuando: - La respuesta del sistema a un impulso tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. - Ante una entrada acotada le corresponde una salida también acotada. A la segunda situación, se le conoce comoestabilidad BIBO (de Bounded-Input BoundedOutput). Para sistemas continuos y lineales que se pueden definir por medio de funciones de transferencia racionales propias, la estabilidad BIBO se cumple si y solo si todos los polos del sistema tienen parte real negativa. Esto equivale a decir que todos los polos deben estar localizados en el semiplano izquierdo de S. No es de extrañar que la estabilidaddel sistema dependa de la posición de los polos del sistema, ya que se ha estudiado en capítulos anteriores como la localización de los polos de la función de transferencia resulta crucial en el régimen transitorio. Incluso es posible intuir el resultado anterior atendiendo a la tabla de transformadas de Laplace elementales. Los polos del sistema son las raíces de la ecuación que resulta de igualara cero el denominar de la función de transferencia del sistema. Esa ecuación se conoce con el nombre de ecuación característica del sistema. Por tanto, las raíces de la ecuación característica ofrecen información no sólo del transitorio del sistema, sino también de su estabilidad.

CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ Conocer las raíces de la ecuación característica, para comprobar si las partes reales detodas ellas son negativas y asegurar así que el sistema es estable, es difícil cuando el orden del sistema es superior a dos. El problema se incrementa si además, los coeficientes de la ecuación no son valores numéricos, sino que dependen de algún parámetro variable. El criterio de Routh-Hurwitz1 aplicado a la ecuación característica de un sistema permite conocer si es estable o no, sin necesidadde calcular las raíces de dicha ecuación característica. Sea la función de transferencia,

Su ecuación característica posee n + 1 coeficientes a reales:

Primero se comprueba que todos los coeficientes ai sean positivos. Si hubiese algún coeficiente nulo o negativo, el sistema no seria estable. Si se cumple la condición anterior, que se conoce como condición de Cardano-Vi`ete, el sistema puedeser estable o no. Para
SISTEMAS DE CONTROL DISCRETO

comprobar si es estable, se disponen los coeficientes ai impuesto por la siguiente tabla:

de forma que sigan el patrón

Donde los coeficientes ai se distribuyen en las dos primeras columnas. Los coeficientes de las sucesivas filas se calculan empleando los coeficientes de las dos columnas inmediatamente superiores. Así los coeficientesbi se calculan como sigue:

Análogamente, los coeficientes ci se calculan:

A partir de un momento, los coeficientes de las filas valen sucesivamente cero. Estos ceros a veces son necesarios para calcular coeficientes posteriores. Se puede observar que el cálculo de los coeficientes sigue un patrón que se puede memorizar. El denominador siempre es el primer coeficiente de la filainmediatamente superior. El numerador depende de los coeficientes de las dos filas inmediatamente superiores y es la diferencia de dos productos cuyos términos poseen una posición cruzada. Para sucesivos coeficientes, los dos primeros términos siempre se emplean en el producto cruzado, mientras que los otros dos van avanzando. El proceso acaba cuando se calcula la fila de coeficientes en s0, que sólo posee uncoeficiente no nulo, d en la expresión (6.3). El criterio afirma que el sistema es estable si y sólo si todos los coeficientes de la primera columna de Routh-Hurwitz son positivos. Es, por tanto, una condición necesaria y suficiente. La primera columna la forman los primeros coeficientes de todas las filas. Aunque el criterio sólo se fije en los primeros coeficientes, las filas hay que...