Estabilidad según lyapunov. sistemas estacionarios

Capítulo 3

Estabilidad Según Lyapunov. Sistemas Estacionarios
La teoría de estabilidad juega un rol central en teoría de sistemas e ingeniería. En sistemas dinámicos existen distintos tipos de problemas de estabilidad. En este capítulo vamos a tratar estabilidad de puntos de equilibrio; más adelante en el curso veremos otros problemas de estabilidad, como el de estabilidad entrada-salida. Laestabilidad de puntos de equilibrio generalmente se caracteriza en el sentido de Lyapunov, un matemático e ingeniero ruso que estableció las bases de la teoría que hoy lleva su nombre. Un punto de equilibrio se dice estable si todas las soluciones que se inicien en las cercanías del punto de equilibrio permanecen en las cercanías del punto de equilibrio; de otro modo el punto de equilibrio esinestable. Un punto de equilibrio se dice asintóticamente estable si todas las soluciones que se inicien en las cercanías del punto de equilibrio no sólo permanecen en las cercanías del punto de equilibrio, sino que Aleksandr Lyapunov además tienden hacia el equilibrio a medida que el tiempo 1857-1918 se aproxima a infinito. Vemos estas nociones en más detalle en §3.1, donde presentamos también losteoremas básicos de Lyapunov para sistemas estacionarios. En §3.2 damos una extensión de la teoría básica de Lyapunov que se debe a LaSalle. En §3.3 analizamos región de atracción de un punto de equilibrio, y en §3.4 vemos cómo la estabilidad de un punto de equilibrio puede determinarse mediante linealización. Los teoremas de estabilidad de Lyapunov dan condiciones suficientes para estabilidad depuntos de equilibrio. Existen teoremas conversos que establecen que, al menos conceptualmente, en los teoremas de Lyapunov muchas de estas condiciones son también necesarias. Trataremos estos teoremas conversos en el capítulo siguiente, junto a extensiones de los resultados para sistemas inestacionarios.

3.1. El Teorema de Estabilidad de Lyapunov
Consideremos el sistema estacionario ˙ x = f ( x)(3.1)

donde f : D → Rn es un mapa localmente Lipschitz desde un dominio D ⊂ Rn en Rn . ¯ ¯ Supongamos que x ∈ D es un PE de (3.1), es decir f ( x) = 0. Vamos a caracterizar y estudiar

3.1 El Teorema de Estabilidad de Lyapunov

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¯ ¯ la estabilidad de x. Por conveniencia, vamos a asumir que x = 0 (esto no nos hace perder ¯ ˙ generalidad porque, si no es así, definimos y = x − x ytrabajamos con la ecuación y = g( y), ¯ ), que tiene un equilibrio en el origen.) donde g( y) f (y + x Definición 3.1. El PE x = 0 de (3.1) es estable, si para cada

> 0 existe δ = δ ( ) tal que
x(t) < ,

x(0) < δ =⇒ inestable si no es estable.

∀t ≥ 0

asintóticamente estable (AE) si es estable y δ puede elegirse tal que x(0) < δ =⇒ l´m x(t) = 0 ı
t→∞

Los tres tipos de estabilidad se puedenver en la ecuación del péndulo (1.4) del Ejemplo 1.2.1. Los PE son (0, 0) y (π, 0). Considerando que no hay fricción, o sea tomando k = 0, las trayectorias en el entorno del primer PE son órbitas cerradas Empezando suficientemente cerca del PE se puede garantizar que las trayectorias van a permanecer en cualquier bola pre-especificada alrededor del PE. Por lo tanto, el PE es estable. No es AE, sinembargo, porque las trayectorias que comienzan fuera del PE nunca tienden a él. Si consideramos fricción (k > 0), el PE en el origen es un foco estable. La inspección del retrato de fase de un foco estable muestra que el requisito − δ para estabilidad se satisface; más aún, las trayectorias que comienzan cerca del PE tienden a él cuando t tiende a ∞. El segundo PE en (π, 0) es un punto deensilladura. Es obvio que el requisito − δ para estabilidad no se satisface porque, para cualquier > 0, siempre hay una trayectoria ¯ que deja la bola { x ∈ Rn | x − x ≤ }, aún cuando x(0) sea arbitrariamente cercano al PE. La Definición 3.1 tiene como condición implícita la existencia de la solución para todo t ≥ 0. Esta propiedad de existencia global (en el tiempo) de la solución no está garantizada,...