Estabilidad

Estabilidad BIBO de Sistemas Lineales
Pablo Monz´n o Notas para el curso del Sistemas Lineales 2

´ UNIVERSIDAD DE LA REPUBLICA FACULTAD DE INGENIER´ IA ´ INSTITUTO DE INGENIER´ ELECTRICA IA Montevideo, segundo semestre del 2004

1.

Introducci´n o

El concepto de estabilidad es muy importante cuando se estudian sistemas f´ ısicos, gobernados por ecuaciones diferenciales ordinarias,ecuaciones en derivadas parciales, etc. La idea general de que los objetos matem´ticos de inter´s, las soluciones las trayectorias, se comportan a e de una manera aceptable, permite a quien estudia el fen´meno tener ciertas garant´ y seguo ıas ridades, cierta tranquilidad en el momento de tener que tomar decisiones. Por ejemplo, la idea de punto fijo estable seg´n Liapunov en una ecuaci´n diferencialordiu o naria asegura que si uno parte de una condici´n inicial suficientemente cercana a ´l, entonces o e el sistema se mantendr´ en las cercan´ del punto fijo, es decir, cerca de un modo de funa ıas cionamiento conocido. Si adem´s hay estabilidad asint´tica, luego de transcurrido un cierto a o tiempo, el sistema se encontrar´ funcionando, en la pr´ctica, en el punto de equilibrio. Esto a a permiteal experimentador ciertas libertades, como admitir la existencia de cierta incertidumbre al momento de definir las condiciones iniciales, ya que peque˜as variaciones en las mismas n no alterar´n cualitativamente el comportamiento del sistema. En cambio, si estamos en las cera can´ de un punto de equilibrio inestable, un peque˜o error en la precisi´n de las condiciones ıas n o iniciales determinar´que, m´s tarde o m´s temprano, la trayectoria se alejar´. a a a a ¿Qu´ pasa con los objetos que estudiamos nosotros, es decir, con los sistemas lineales caue sales invariantes en el tiempo, representables mediante una relaci´n de convoluci´n de una o o se˜al de entrada con una respuesta al impulso para obtener la se˜al de salida del sistema? n n

1

Versi´n borrador - octubre 2004 o

PabloMonz´n o

2.

Definici´n o
El sistema es el que se representa en la figura 1. En este caso, la idea de estabilidad que

e(t) h(t)

r(t) = e(t) ⋆ h(t)

Figura 1: Sistema lineal causal invariante en el tiempo. manejaremos nos permitir´ asegurar que en presencia de un sistemas estable, en tanto nos a aseguremos que la entrada se mantenga acotada, la respectiva salida no va a diverger. Ladefinici´n que usaremos ser´ la siguiente: o a Definici´n 2.1 Estabilidad BIBO: Diremos que un sistema lineal, causal e invariante en o el tiempo es BIBO-estable1 si y s´lo si a toda funci´n de entrada acotada le corresponde una o o funci´n de salida acotada. o La definici´n anterior merece una serie de precisiones. En primer lugar, si bien la relaci´n de o o ′ convoluci´n que define el sistema est´ biendefinida para distribuciones de D+ , al referirnos o a a se˜ales acotadas estamos limitando las entradas involucradas en la definici´n a funciones n o localmente integrables, para las cuales tiene sentido hablar de cotas. En segundo lugar y en el mismo sentido, una segunda limitaci´n del conjunto de entradas involucradas en la definici´n o o surge de la necesidad de que la respectiva salida tambi´nsea una funci´n. e o Hay que destacar tambi´n que la salida acotada debe obtenerse para toda entrada acotada e y que por lo tanto, la estabilidad BIBO no puede ser asegurada mirando la respuesta a una entrada acotada espec´ ıfica. Ejercicio 2.1 Utilizando la definici´n, verificar que la cascada de sistemas BIBO estables es o BIBO estable. ¿Qu´ puede decir en el caso en que en la cascada participe alg´nsistema BIBO e u inestable? Veamos algunos ejemplos de sistemas e intentemos determinar su estabilidad BIBO utilizando la definici´n reci´n presentada: o e Ejemplo 2.1 Consideremos el sistema de respuesta impulsiva h(t) = δ(t). Este sistema es trivial, ya
que simplemente repite la entrada a la salida (se sugiere al lector pensar en un sistema el´ctrico que e responda a esta descripci´n). En...