Estabilidad

PLANO DE FASE:

Cuando se utilizan para describir un sistema sus variables de estado, aparece un espacio n-dimensional, que es el espacio de estados, cuya cantidad de coordenadas dependerá del orden del sistema, por ejemplo para uno de tercer orden se obtendrá un espacio de estados tridimensional.


Si el sistema es de 2º orden, el espacio se transforma en un plano de estado y, si además,las variables de estado se eligen de tal modo que la segunda de ellas sea la derivada de la primera, (x2 = y’ ; x1= y) entonces la representación de ambas en un par de ejes coordenados se denomina plano de fase.

La respuesta se puede investigar, considerando distintos estados iniciales, a través de una gráfica que se denomina retrato de fase.

Particularmente, utilizaremos el plano de fasepara analizar sistemas autónomos, que son aquellos cuya característica es que la variable tiempo aparece sólo en forma implícita en las ED, por ejemplo:

x’ = F(x,y)

y’ = G(x,y)

lo que debe interpretarse como:

dx/dt = F(x,y)

dy/dt = G(x,y)


Para estos sistemas, cualquier solución de los mismos, de la forma x = ϕ (t ) é y ’ψ (t); se llama trayectoria del sistema en el plano defase.

En el caso en que sean: ϕ (t ) = cte. y ψ (t) = cte.; entonces, la trayectoria se representa gráficamente como un único punto.

Se pueden pensar las funciones x = ϕ (t ) é y ’ψ (t) como ecuaciones paramétricas de una curva en el plano.










Como ya se ha expresado, el plano (x,y) para el sistema autónomo es un Plano de Fase y el gráfico de las trayectorias en elplano de fase se denomina retrato fásico del sistema.



Punto crítico:

Se define al punto (xo,yo) como punto crítico o punto de equilibrio de un sistema autónomo como el siguiente:

x’ = F (x,y)

y’ = G (x,y)

siempre que:


F (xo,yo) = G (xo,yo)



Se dice que un punto crítico es aislado si existe un disco circular de radio finito alrededor de (xo,yo) que no contenganingún otro punto crítico del sistema.

Se analizarán solamente sistemas con puntos críticos aislados, de manera que el término punto crítico deberá interpretarse como punto crítico aislado.

Normalmente se considerará a las funciones F y G como continuas, con derivadas parciales primeras continuas en todo el plano.

Debe notarse que si (xo,yo) es un punto crítico del sistema autónomomencionado últimamente, la solución del problema del valor inicial, teniendo en cuenta el sistema y las condiciones x (to) = xo é y(to) = yo ; tiene una trayectoria de un solo punto, desde que la solución no puede apartarse del punto (xo,yo) en ningún momento t, porque;


x (to) = F [x (to); y (to)] = F (xo,yo) = 0

y(to) = G [x (to); y (to)] = G (xo,yo) = 0


La trayectoria a través de unpunto crítico será, en consecuencia, el único punto (xo,yo).

Como las diferentes trayectorias de un sistema autónomo no pueden cruzarse unas a otras, ninguna otra trayectoria puede atravesar el punto crítico.

Así, si una trayectoria comienza en un punto cualquiera, no crítico, nunca podrá alcanzar un punto crítico.

Sin embargo, puede aproximarse arbitrariamente cerca de un puntocrítico, en muchas formas diferentes.

Los puntos críticos se pueden clasificar de acuerdo con el comportamiento de las trayectorias que comienzan cerca de ellos o se les aproximan.

Esta clasificación permite, a su vez, describir los diferentes tipos de soluciones, según su comportamiento.


Clasificación de puntos críticos. Estabilidad:

El retrato fásico de un sistema autónomo, consistede los dibujos de las trayectorias en el plano (x,y), para una forma genérica del sistema como:





x’ = F(x,y)

y’ = G(x,y)


En ese dibujo, usualmente, se grafica una flecha sobre cada trayectoria para indicar la dirección de avance de un punto móvil en el sentido del tiempo t creciente.

A continuación se analizarán las distintas configuraciones de trayectorias, tales como las...