Estadistica 2

Taller Cuatro

Tareas:

I. Conteste las siguientes preguntas. Debe demostrar ejemplos en sus contestaciones:

1. ¿Cuáles son los supuestos del análisis de regresión lineal simple y cómo deben evaluarse?

Para poder crear un modelo de regresión lineal, es necesario que se cumpla con los siguientes supuestos:

a. La relación entre las variables es lineal.

b. Los errores en lamedición de las variables explicativas son independientes entre sí.

c. Los errores tienen varianza constante.

d. Los errores tienen una esperanza matemática igual a cero (los errores de una misma magnitud y distinto signo son equiprobables).

e. El error total es la suma de todos los errores.

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modeliza la relaciónentre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

donde β0 es la intersección o término “constante”, las son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y p es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión nolineal.

Un elemento importante a considerar al aplicar un modelo de regresión lineal es que la variable respuesta debe ser una variable cuantitativa continua. En ocasiones, es posible aplicar el modelo a variables cuantitativas discretas, en el caso de escalas de puntaje de gran amplitud.

También se sugiere a los que deseen utilizar regresión lineal siempre graficar previamente los datos, yaque se puede encontrar una asociación no lineal mucho más poderosa que, a través de un método multivariado no lineal, permitirá una predicción mucho mejor de la variable respuesta.

Veamos el ejemplo de la Tabla 3, que se refiere al número de colonias bacterianas
obtenidas a distintas temperaturas de incubación.

EJEMPLO

Las ecuaciones matemáticas nos dan una relación de causa -consecuencia y por medio de estas representamos los diversos fenómenos en la naturaleza. Tomemos un ejemplo sencillo: si colocamos diferentes pesos de un resorte, éste se va a estirar dependiendo del peso que se le haya colocado, sería útil para nosotros (por ejemplo para construir una balanza), predecir cuánto será la elongación del resorte dependiendo del peso que le coloquemos. Asumamos que no hemosescuchado hablar de la ley de Hooke y que lo que hacemos es tomar una serie de datos de la elongación versus el peso utilizado; la graficamos para “ver” que comportamiento tiene, y tratamos de esbozar una relación matemática de los datos tabulados:

Se tomaron las siguientes mediciones de elongación (x) para diferentes pesos (F) y se obtuvo la siguiente tabla:

F
Elongación
0
0
5
1.557453810
1.2904726
15
3.153936
20
4.2275978
25
4.660399
30
5.2012599
35
6.9964007
40
7.074054
45
9.7068664
50
10.464314
55
11.445716
60
11.800098
65
12.188502
70
14.702421
75
15.898137
80
15.022116
85
17.623212
90
18.985872
95
19.669919
100
19.701222
105
21.121257

Hagamos un diagrama de dispersión para ver cual es el comportamiento de los datos:


Luego dever la gráfica, podemos inferir que los datos siguen un comportamiento lineal, entonces nos preguntamos, ¿cuál es la recta que mejor se ajusta a los datos? Para responder a esta cuestión debemos encontrar la ecuación de la recta que esté lo más cercana posible a todos los puntos y para esto podemos utilizar el método de los mínimos cuadrados.

Podemos decir que la mejor recta es la que tiene elmenor error y que este es la suma de las diferencias o distancias que hay entre los valores que arroje la recta que encontramos Y' y el valor medido Y. Entonces la definición de error quedará así:

Error = (|Y' - Y|).

Sin embargo el tratamiento matemático de esta función de error es un poco complicado, así que mejor lo tomamos de la siguiente manera:

Error =(Y' - Y)2.

Como todo...