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Análisis de Regresión y Correlación
El análisis de regresión consiste en emplear métodos que permitan determinar la mejor
relación funcional entre dos o más variables concomitantes (o relacionadas). El análisis
de correlación estudia el grado de asociación de dos o más variables.
Analisis de Regresion
Una relacion funcional matemáticamente hablando, está dada por:
Y = f(x1,...,xn;θ1,...,θm)
donde:
Y : Variable respuesta (o dependiente)
xi : La i-ésima variable independiente (i=1,..,n)
θj : El j-ésimo parámetro en la función (j=1,..,m)
f : La función
Para elegir una relación funcional particular como la representativa de la población bajo
investigación, usualmente se procede:
1) Una consideración analítica del fenómeno que nos ocupa, y
2) Un examen de diagramas de dispersión.Una vez decidido el tipo de función matemática que mejor se ajusta (o representa nuestro
concepto de la relación exacta que existe entre las variables) se presenta el problema de
elegir una expresión particular de esta familia de funciones; es decir, se ha postulado una
cierta función como término del verdadero estado en la población y ahora es necesario
estimar los parámetros de estafunción (ajuste de curvas).
Como los valores de los parámetros no se pueden determinar sin errores por que los
valores observados de la variable dependiente no concuerdan con los valores esperados,
entonces la ecuación general replanteada, estadísticamente, sería:
Y = f(x1,...xn;θ1,...,θm) + ε
donde ε respresenta el error cometido en el intento de observar la característica en
estudio, en la cualmuchos factores contribuyen al valor que asume ε.
Regresion Lineal Simple
Cuando la relación funcional entre las variables dependiente (Y) e independiente (X) es
una línea recta, se tiene una regresión lineal simple, dada por la ecuación
Y = ßo + ß1X + ε
F. de Mendiburu
2
donde:
ßo : El valor de la ordenada donde la línea de regresión se intersecta al eje Y.
ß1 : El coeficiente deregresión poblacional (pendiente de la línea recta)
ε : El error.
Suposiciones de la regresión lineal
1. Los valores de la variable independiente X son "fijos".
2. La variable X se mide sin error (se desprecia el error de medición en X)
3. Existe una subpoblacion de valores Y normalmente distribuido para cada valor de
X.
4. Las variancias de las subpoblaciones de Y son todas iguales.
5. Todas lasmedias de las subpoblaciones de Y están sobre la misma recta.
6. Los valores de Y están nomalmente distribuidos y son estadísticamente
independientes.
Los supuestos del 3 al 6 equivalen a decir que los errores son aleatorios, que se
distribuyen normalmente con media cero y variancia σ².
Terminologia:
Promedios
n
y
yi Σ
= ;
n
x
xi Σ =
Sumas de cuadrados y productos de X e Y.
= Σ(yi−y)
SCY
2
; = Σ(x −x) i
SCX
2
; SPXY = Σ(x − x)(y − y) i i
SCY tambien corresponde a la suma de cuadrados total = SC total
Estimación de parámetros
La función de regresión lineal simple es expresado como:
Y = ßo + ß1X + ε
la estimación de parámetros consiste en determinar los parámetros ßo y ß1 a partir de los
datos muestrales observados; es decir, deben hallarse valores como bo y b1 dela muestra,
que represente a ßo y ß1, respectivamente.
Empleando el método de los mínimos cuadrados, es decir minimizando la suma de
cuadrados de los errores, se determinan los valores de bo y b1, así:
F. de Mendiburu
3
Q = Σe = Σ(yi− − x) i β β 0 1
2 2
bo y b1x = −
scx
spxy
b = 1
b0 : es el valor que representa (estimador) a ß0 constituye el intercepto cuando X=0;
b1 : es el valorque representa (estimador) a ß1.
Sus desviaciones estandares respectivas son:
n SCX
CMresidual
Sb X i
.
.
0
Σ 2 =
SCX
CMresidual
Sb1 =
Luego, la ecuación de regresión es: y = bo + b1X
El coeficiente de regresión (b1) .- pendiente de la recta de regresión, representa la tasa de
cambio de la respuesta Y al cambio de una unidad en X.
Si b1=0, se dice que no existe relación lineal...
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