Estadistica

1. PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE.

1.1 Prueba ji-cuadrada.

Uno de tantos usos de la prueba ji-cuadrada es la de emplearse como prueba de bondad de ajuste, la cual se utiliza generalmente cuando no se conoce la función de distribución de probabilidad de alguna variable que estamos estudiando, digamos X, y deseamos probar la hipótesis de que X, sigue una función de probabilidad en particular.El procedimiento de prueba requiere una muestra aleatoria de tamaño n de la variable aleatoria X, cuya función de distribución de probabilidad se desconoce. Estas n observaciones se arreglan en un histograma de frecuencias teniendo k intervalos de clase.

TEOREMA. Una prueba de bondad entre frecuencias observadas y esperadas se basa en la estadística.

[pic]

Donde:[pic][pic] = frecuencias observadas
[pic] = frecuencias esperadas
[pic] = es el valor de una variable aleatoria cuya distribución muestral se
aproxima muy cercamente a una distribución ji-cuadrada, con
parámeto v = k – p - 1 llamado grados de libertad.

Donde p representa el número de parámetros para estimar lasfrecuencias esperadas de la distribución hipotética y k el número de intervalos.

Si las frecuencias observadas son casi iguales a las frecuencias esperadas, X[pic] será pequeña, lo que indica un buen ajuste, llevándonos a aceptar la hipótesis nula. Si las frecuencias observadas difieren considerablemente de las frecuencias esperadas, el valor X[pic] será grande y el ajuste será muy pobre, porlo que rechazaremos la hipótesis H0. Con lo que podríamos concluir que existen diferencias significativas entre los valores observados y los esperados.

La región crítica caerá en la cola derecha de la distribución ji-cuadrada. Para un nivel de significación ( se rechazará H0 si X[pic] es mayor X[pic]
Cuando el valor de alguna de las frecuencias esperadas sea menor o igual a cinco, serecomienda sumar los intervalos de clase en un solo intervalo, aunque esto nos lleva a la reducción de los grados de libertad.

Ejemplo 1. Se considera en forma hipotética que el número de defectos en tarjetas de circuito impreso sigue una distribución de Poisson. Una muestra aleatoria de n = 60 tarjetas impresas se ha colectado y los defectos presentados son los siguientes:

|Número de defectos|Numero de tarjetas |
| |(Frecuencia observada) |
|0 |32 |
|1 |15 |
|2 |9|
|3 |4 |

Con ( = 0.05 pruebe la hipótesis de que la función de la muestra se ajusta a una distribución de Poisson.

Sabemos que la función de probabilidad de la distribución de Poisson es:

[pic]

Donde el promedio de defectos por tarjeta es (, que es igual a la media ponderada, definida por:32(0) + 15 (1) + 9(2) + 4(3)
( = ------------------------------------- = 0.75
60

Planteamiento de hipótesis.

[pic]

[pic] Poisson con ( ( ((((

Cálculo del estadístico de prueba.

Se obtienen las probabilidades de la distribución de Poisson cuando X = 0, 1, 2, 3 y se concentran en el siguiente cuadro con los valores originales. Asímismo se calcula la frecuencia esperada para cada valor de X (multiplicando la probabilidad correspondiente por el total de frecuencias observadas).

|No de defectos |Frecuencia observada |Probabilidad Poisson |Frecuencia esperada |
|0 |32 |0.4724 |28.3...