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Definición:
Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado:
[pic]

La ecuación de una cónica se puede escribir en forma matricial como    
[pic]
Donde
[pic]

Una cónica queda pues definida  por una matriz simétrica [pic]
En lo que sigue denotaremos por Aii  a lamatriz adjunta en A del elemento aii   i=0,1,2 .

Ejemplo:                                         [pic]

En el siguiente gráfico vemos la cónica que representa la ecuación cuadrática anterior

[pic]

En este caso la matriz de la cónica y las matrices adjuntas correspondientes son

            
         [pic]

Las figuras que represetan lasecuaciones cuadráticas pueden ser, además de elipses, hipérbolas y parábolas, pares de rectas tanto secantes como paralelas y estas últimas pueden ser distintas o coincidentes. También puede darse el caso de que la ecuación sea verificada por un único punto o por ninguno. Alguna de estas últimas también se pueden obtener como secciones cónicas como se ve en las imágenes siguientes:

[pic]      [pic]         [pic]

A continuación estudiamos como se puede determinar que tipo de curva que define una ecuación cuadrática dada.
Clasificación de las cónicas
Existen ciertas cantidades asociadas a la matriz de la cónica que son invariantes respecto a los movimientos del plano (giros y traslaciones).
Si  [pic] y [pic] son las matrices asociadas a la cónica despuésde que ésta ha sufrido un giro y una traslación, respectivamente, entonces
1)  det A=det A'=det A'',
2)   a11 + a22 = a'11+ a'22 = a''11 + a''22,
3)  det A00 = det A'00 = det A''00.
Tabla de Clasificación
[pic]

Elementos notables de las cónicas

Centro:

Polar  Dado un punto  P=(x0,y0) se llama polar de P respecto de una cónica Cde matriz A a la recta de ecuación
 [pic]

Si el punto P está en la cónica C entonces la recta polar de P respecto a C es precisamente la recta tangente a la cónica en dicho punto P.

Ejemplo:

Consideremos la cónica de ecuación
[pic]
que matricialmente se escribe como
[pic]
Utilizando la tabla de clasificación vemos que se tratade una elipse real puesto que
[pic]
La polar del punto (1,2) será la recta 
[pic]
Observamos que el punto (1,2) pertenece a la cónica y por lo tanto la polar coincide con la recta tangente en dicho punto.

[pic]
La polar del punto (1,1) es la recta

[pic]
[pic]

La polar del punto (3/2, 9/4) es la recta

[pic][pic]

Es posible que un punto P=(x0,y0) no tenga polar respecto a una cónica C. Las coordenadas de los puntos que no tienen polar deben verificar el sistema de ecuaciones
[pic]
que impone que los coeficientes de x e y en la recta polar sean nulos (es decir que no exista dicha recta).
Para que este sistema tenga alguna solución se ha de verificar
[pic]Además si det A00 es no nulo, entonces la solución del sistema es única y por lo tanto habría un único punto que no poseerá recta polar. Este punto se denomina centro de la cónica. No todas las cónicas tienen centro.

El centro de la cónica tiene la particularidad de ser su centro de simetría.
Si C es una elipse o una hipérbola entonces  det A00  ≠ 0 y el sistema es compatibledeterminado lo que indica que estas cónicas tienen centro y que éste es único.
Ejemplo:
En la elipse del ejemplo anterior el centro será el punto (2,2) única solución del sistema de ecuaciones
[pic]
[pic]
Sin embargo si la cónica es una parábola, todos sus puntos tienen polar. La parábola es por tanto una cónica sin centro.
Polo  Dada una recta r diremos...
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