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11. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN ESPECIALES

DISTRIBUCIÓN CHI2 CUADRADO DE PEARSON

Si (X1,X2,...,Xn) son n variables aleatorias normales independientes de media 0 y varianza 1, la variable definida como


se dice que tiene una distribución CHI con n grados de libertad. Su función de densidad es


siendo la función gamma de Euler, con P>0. La función de distribución viene dada porLa media de esta distribución es E(X)=n y su varianza V(X)=2n. Esta distribución es básica en un determinado número de pruebas no paramétricas.

Si consideramos una variable aleatoria Z~N(0,1), la variable aleatoria X=Z2 se distribuye según una ley de probabilidad distribución CHI con un grado de libertad

Si tenemos n variable aleatoria independientes Zi~N(0,1), la suma de sus cuadradosrespectivos es una distribución CHI con n grados de libertad,


La media y varianza de esta variable son respectivamente, E(X)=n y V(X)=2n

Ejemplo, El espesor de un semiconductor se controla mediante la variación estándar no mayor a =0.60 mm. Para mantener controlado el proceso se toman muestras aleatoriamente de tamaño de 20 unidades, y se considera que el sistema está fuera de controlcuando la probabilidad de que 2 tome valor mayor o igual al valor de la muestra observado es que es 0.01. Que se puede concluir si s=0.84mm?

Solución. Existe fuera de control si con n=20 y =0.60, excede
Entonces,
Por tanto, el sistema está fuera de control

La función de distribución CHI tienen importantes variaciones de acuerdo con los grados de libertad y del tamaño muestral(menor tamaño muestral y mayor tamaño muestral respectivamente),




En consecuencia, si tenemos X1,..,Xn, variable aleatoria independientes, donde cada
, se tiene


La distribución Chi muestra su importancia cuando queremos determinar la variabilidad (sin signo) de cantidades que se distribuyen en torno a un valor central siguiendo un mecanismo normal.

Teorema (Cochran). SeanX1,…,Xn con distribución N(,), la variable aleatoria independiente, entonces


La función Chi-cuadrado es igual a la función normal elevada al cuadrado. Esto es, el producto de dos distribuciones de Gauss es una distribución de Chi-cuadrado. Si de una población normal, o aproximadamente normal, se extraen muestras aleatorias e independientes, y se le calcula el estadígrafo χ2 usando el valormuestral de la varianza y el poblacional con:


Esta función matemática está caracterizada por el valor del número de grados de libertad υ=n-1 (donde n es el tamaño muestral). Al igual que la t-Student, el valor total del área bajo la curva es igual a la unidad, pero la diferencia principal es que esta no es simétrica respecto al origen, sino que se extiende desde 0 hasta + ∞ porque no puede sernegativa.


A medida que los grados de libertad aumentan, la curva cambia de forma y sus valores se han tabulado en el anexo de tablas estadísticas, donde se muestran los valores del área bajo la curva, para los principales valores de χ2, a la derecha de éste. O sea, se muestra la zona de rechazo para diferentes niveles de significación y de grados de libertad, lo cuales varían entre 1 y 100.Más allá, conviene usar directamente la función de Gauss.

Para cada grado de libertad hay una tabla de valores que pueden obtenerse variando el nivel de significación, parecida a la de Gauss. El problema de calcular los valores críticos, para un nivel de confianza dado, se resuelve de dos maneras: usando computadoras para resolver los cálculos, y la otra más común, usando tablas resumidas, enforma análoga a la vista para el modelo de t-Student. La distribución de χ2 se usa principalmente para analizar dispersiones. Se compara la dispersión muestral expresada a través de sus cuadrados medios contra la dispersión poblacional cuantificada a través de la varianza (σ2).

Existen otros criterios, como el de Thonks, que usa un error relativo admisible máximo, y se calcula como un cuarto...
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