Estadistica

Media- Varianza- Desviación Estándar

Media o esperanza

Equivale a la media aritmética de los resultados, cuando el número de medidas tiende a infinito. Para una distribución gaussiana, la media corresponde al valor de x para el máximo de la campana. Representamos la media de la distribución como:
[pic]

El problema que surge es que la media de la distribución sólo se conoce trasinfinitas medidas, lo cual la hace inalcanzable.

Se trata entonces de, con un número finito de datos, hallar la mejor aproximación posible a la media. Una forma de obtenerla es mediante el método de mínimos cuadrados. Cuando se consideran infinitas medidas, se verifica que la cantidad
[pic]
es mínima cuando a = α, esto es, para la media de la distribución. La idea es mantener esta expresión para unnúmero finito de datos. La mejor estimación para la media de la distribución sería aquel valor de a que haga mínima la cantidad
[pic]
Podemos interpretar este resultado gráficamente. Supongamos que anotamos las diferentes medidas como alturas en una escala. Se trata de hallar un valor que sea la mejor aproximación a todos los datos. Para cada valor tomamos la diferencia entre la medida y estevalor. Será una cierta cantidad, que podemos considerar el error de cada dato individual. Elevándola al cuadrado (para que sea siempre positiva) y sumando para todos los datos, el valor mínimo nos dará la mejor aproximación simultánea a todos los datos, aunque puede que no coincida con ninguna de las medidas.

[pic]

Aplicando la fórmula para el mínimo de una función tenemos

[pic]

Lamedia, da una idea de la localización del centro de masa de la distribución (en la distribución gaussiana o normal, es el punto en torno se acumulan la mayor cantidad de observaciones).

¿Cuál es el mejor estimador de la dispersión de los xi?.
Si μ es el verdadero valor de [pic] se definen las cantidades:
Desviación media

Los conceptos de exactitud y precisión se tienen que reflejar en losresultados de una serie de mediciones. Esto lo haremos estimando la dispersión de los resultados de n medas de la cantidad x alrededor de su valor medio [pic].

La exactitud dependerá de la apreciación de sus instrumentos y la estimación que Ud. hace, así como por su buena calibración (ausencia de errores sistemáticos) para que las indicaciones de la escala sean exactas.

La precisión, por otrolado, aumentará si Ud. realiza un número grande de medidas y calcula el promedio de ellas. La precisión del resultado así obtenido, o desviación media de esta medida, es el promedio de los valores absolutos de las diferencias y mide la dispersión de las medidas alrededor del valor medio

[pic]
Varianza: Como una forma natural de medir la dispersión en torno a la media es calcular la media delas diferencias:
[pic]
pero como habrá valores por encima y por debajo de la media que se compensarán, calcularemos mejor el cuadrado de las diferencias. Se define así varianza de una variable estadística, como la media de los cuadrados de las desviaciones de sus valores respecto a su media. Se representa por σ2
[pic] Varianza, desviación cuadrática media
[pic] Desviación típica,estándar
Pero no conocemos el valor verdadero μ
Conocemos una estimación del mismo que es la media [pic]. Se definen entonces los estimadores:
[pic] Varianza muestral
[pic] Desviación estándar muestral
La defenecía entre ambas varianzas es un pequeño detalle: en vez de dividir el resultado de la suma entre (n), se divide entre (n-1).
Desviación estándar:

Ladesviación estándar es una medida de la dispersión de los datos alrededor del promedio. Cuanto más concentrada esté la distribución de valores alrededor de [pic], menor será [pic], y viceversa. Es la raíz cuadrada de la varianza.
[pic]

Desviación media y estándar de una serie de medidas

Ejemplo:

Se realiza una serie de medidas sobre la el tiempo, t, que tarda un cuerpo en recorrer una...