estadistica

Reparametrizaci´n de curvas: Consideremos la curva f : [−1, 1] → R2 dada por f (t) = (t, t2 )
o

la cual describe un arco de la par´bola y = x2 entre -1 y 1. Sea ϕ : [0, 2π] → [−1, 1] la
afunci´n t = ϕ(s) = − cos(s)
o

Tenemos que ϕ(0) = − cos(0) = −1, ϕ(π) = − cos(π) = 1 y ϕ(2π) = − cos(2π) = −1 por
lo que ϕ recorre 2 veces la curva descrita por por f . Ahora bien
g(s) = f (ϕ(s)) = f(− cos(s)) = (− cos(s), cos2 (s)) s ∈ [0, 2π]
y el vector velocidad
g (s) = (sen(s), −2 sen(s) cos(s)) = ϕ (s)f (ϕ(s))
el cual se anula para s = 0 mientras que
f (t) = (1, 2t)
el cual no se anula ∀t∈ [−1, 1]. Ademas la longitud de la curva g es el doble de la
longitud de la curva f, y aunque ambas funciones vectoriales representan el mismo lugar
geometrico, la funci´n g tiene longitud 2 vecesla longitud de f, y tratamos de encontrar
o
otra representaci´n de una funci´n vectorial (curva) que no pierda las caracteristicas de
o
o
la original.
1

Definici´n Sea f : [a, b] ⊂ Rn unacurva con derivada distinta de cero. Sea ϕ : [c, d] →
o

[a, b] una funci´n con derivada continua sobreyectiva tal que ϕ = 0 ∀s ∈ [a, b].
o
Entonces la curva g = f ◦ ϕ : [c, d] → Rn se llamareparametrizaci´n de la curva f
o
Observaci´n: La condici´n ϕ = 0 nos conduce a ϕ > 0 o ϕ < 0. Si ϕ > 0 entonces
o
o

ϕ es una funci´n creciente en [c,d] de modo que ϕ(c) = a y ϕ(c) = b y asi los
opuntos inicial y final de g coinciden con los respectivos de f
g(c) = f ◦ ϕ(c) = f (ϕ(c)) = f (a) g(d) = f ◦ ϕ(d) = f (ϕ(d)) = f (b)
como g (s) = ϕ (s)f (ϕ(s)) entonces f y g tienen la mismadirecci´n y en este
o
caso, entonces, el camino g recorre la curva descrita por f en la misma direcci´n.
o
En este caso g es una reparametrizaci´n que conserva la orientaci´n
o
o
Ejemplo: Obtenga unareparametrizaci´n de la curva f : [0, 2] → R2 dada por f (t) =
o

(3t + 2, t3 + 3)
Soluci´n: Proponemos t = ϕ(s) = 2s para la cual ϕ (s) = 2 > 0 no se anula para
o

ningun valor. Ahora bien...