estadistica






En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

: Variable dependiente, explicada o regresando.
: Variables explicativas, independientes o regresores.
: Parámetros, miden la influencia que las variablesexplicativas tienen sobre el regresando.
Donde  es la intersección o término "constante", las  son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y  es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

HISTORIA
La primera forma de regresiones lineales documentada fue el método de losmínimos cuadrados, el cual fue publicado por Legendre en 1805, y en dónde se incluía una versión delteorema de Gauss-Márkov.

ETIMOLOGÍA
El término regresión se utilizó por primera vez en el estudio de variables antropométricas: al comparar la estatura de padres e hijos, resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valor medio tendían a igualarse a éste, mientras queaquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir, "regresaban" al promedio. La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más tarde con la justificación teórica de ese fenómeno.
El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Losmodelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágil y con un soporte teórico por parte de la matemática y la estadística mucho más extenso. Pero bien, como se ha dicho, podemos usar el término lineal para distinguir modelos basados en cualquier clase de aplicación.

EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL
El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variablesexplicativas  (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetros  desconocidos:


donde  es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicativa,el hiperplano es una recta:


El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos  , de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas (lasperturbaciones aleatorias se suponen no observables).


Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, , son los coeficientes de regresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en


Los valores  son por su parte estimaciones de la perturbación aleatoria o errores.

HIPÓTESIS MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CLÁSICO
1.Esperanza matemática nula.


Para cada valor de X la perturbación tomará distintos valores de forma aleatoria, pero no tomará sistemáticamente valores positivos o negativos, sino que se supone que tomará algunos valores mayores que cero y otros menores, de tal forma que su valor esperado sea cero.
2. Homocedasticidad

 Para todo t

Todos los términos de la perturbación tienen la misma varianzaque es desconocida. La dispersión de cada  en torno a su valor esperado es siempre la misma.
3. Incorrelación.  para todo t,s con t distinto de s
Las covarianzas entre las distintas pertubaciones son nulas, lo que quiere decir que no están correlacionadas o autocorrelacionadas. Esto implica que el valor de la perturbación para cualquier observación muestral no viene influenciado por los...