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1)
a) Lf*g ;ft=e-t, gt=etcost

Lf*g= Lf(t) * Lg(t)
= Le-t* Letcos⁡(t)
Aplicando la transformada de Laplace de Le-t, donde a=-1, obtenemosLf*g=1s+1 . Letcos⁡(t)
Letcos⁡(t) no es una transformada de Laplace directa, en consecuencia, debemos usar el primer teorema de transformación, donde a=1 ft=cos⁡(t)

Letcos⁡(t)=F(s-a)Fs=LFt=Lcos⁡(t)=ss2+a2

Fs-1=s-1(s-1)2+1=Letcos⁡(t)

Lf,g=1s+1. s-1(s-1)2+1=s-1s+1s-12+(s+1)

b) Lf,g ;ft=e2t , gt=sen(t)

Lf(t) . Lg(t)=Le2t . Lsen(t)=1s-2 . 1s2+1

=1s-2(s2+1)

2)
a) ft+ 20tfxcost-xdx=4e-t+sen(t)

Lf(t)+2L0tf(x)cos⁡(t-x)dx=4 Le-t+Lsen(t)

Fs+2 Lfxcost-xdx=4s+1+1s2+1

Perogt-x=cost-x

gt=cos⁡(t)

Fs=Lg(t)=Lcos⁡(t)= 1s2+1

L0tfxcos⁡(t-x)dx=Fs . ss2+1=sF(s)s2+1

Fs+2sFss2+1=4s+1+1s2+1

Fs+2sF(s)s2+1=4s+1+1s2+1

1+2ss2+1 . Fs=4s2+1+(s+1)s+1(s2+1)

s2+12ss2+1 .Fs=4s2+1+s+1s+1(s2+1)

s+12s2+1 . Fs=4s2+s+5s+1(s2+1)

Fs=4s2+s+5s+1(s+1)2=4s2+s+5(s+1)3

Debemos reducir por fracciones parciales el miembro de la derecha. Utilizando el método heaviside,donde un corolario explica que una fracción

fx= P(x)Q(x) y que: qx=(x-a)m

4s2+s+5(s+1)3=As+1+B(s+1)2+C(s+1)3

Siendo a=-1 tenemos que

Pa=4s2+s+5

P'a=8s+1

12P''a=82

C=P-1=8B=P'-1=-7

A=12P''-1=4

Fs=4s+1-7(s+1)2+8(s+1)3

ft=4 L-11s+1-7L-11(s+1)2+8L-11(s+1)3

ft=4e-t-7e-t+4t2e-t

b) ft+0tfxdx=1

Lft+L0tfxdx=L1

fs+L0tftdx=1s

L0tf(t)dx=F(s)sFs+Fss=1s

Fs .1+1s=1s

F(s) .s+1s=1s

Fs=1s. ss+1=1s+1

ft=e-t

3)
a) y'=1-sent-0tyxdx
y0=0

Ly'=L1-Lsent-L0tyxdx

SYs-y0=1s-1s2+1-Yss
SYs+Yss=1s-1s2+1

Ys .1s2+1=1s-1s2+1

Ys.s2+1s=s2-s+1s(s2+1)

Ys=(s2-s+1)(s)ss2+1s2+1

Ys=s2-s+1(s2+1)2

s2-s+1(s2+1)2=As2+1+B(s2+1)2

s2-s+1=As2+1+B

As2+A+B=s2-s+1

A=1
A+B=-s+1
B=-s+1-1

B=-s

y(t)=sent+cos⁡(t)
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