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15.- En una pizzería se anuncia que ofrecen más de 500 variedades distintas de pizza. Un cliente puede ordenar una pizza con una combinación de uno o más de los siguientes nueve ingredientes: jamón, champiñones, piña, pimentón, salchicha, cebolla, peperoni, salami y aceitunas. ¿Es cierto lo que afirma su publicidad?

Tenemos 9 elementos, podemos ordenar una pizza con uno o más deestos 9 elementos, es decir con 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 elementos. Luego para:

n=1, combinaciones de 9 elementos tomados de uno en uno
n = 2, combinaciones de 9 elementos tomados de dos en dos.
....................
n = 9 combinaciones de 9 elementos tomados de 9 en 9.

Combinaciones de m elemento tomados de n en n: Cm,n (n ≤ m ) Y el número de combinaciones lo obtenemos con la siguientefórmula:
Cm,n = m!/[ n!(m – n )]

Luego el total de variedades distintas de pizza, será la suma de todas las combinaciones posibles:

C9,1 + C9,2 + C9,3 + C9,4 + C9,5 + C9,6 + C9,7 +C9,8+C9,9 = 9+36+84+126+126+84+36+9+1 = 511 < 500.

16.- El itinerario de un recorrido turístico por Europa incluye cuatro sitios de visita que deben seleccionarse entre diez ciudades. ¿Encuántas formas diferentes puede planearse este recorrido si:
a. Es importante el orden de las visitas?
b. No importa el orden de las visitas?

 Importa el orden de las visitas: ABCD ≠ BACD≠CBAD ≠..

Importa el orden; no entran todos los elementos del conjunto, en este caso entran 4 de 10, y no hay repetición. Son variaciones sin repetición de 10 elementos tomados de 4 en 4.

Variaciones sinrepetición o variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n)son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación. Se representa por Vm,n

Vm,n = m(m – 1 ) ... (m - n+1)

Si no importa el orden, tenemos combinaciones de 10 elementos tomados de 4en 4. 

17.- El muy conocido BALOTO electrónico es un juego de azar que consiste en acertar en
6 números de 45 posibles para ganar el premio mayor. Calcule cuántos boletos de juego debe usted comprar para asegurar que tendrá el boleto ganador. La empresa del BALOTO asegura también que usted puede ganar un monto determinado si acierta 3, 4 o 5 veces, calcule también cuántos boletosdebe comprar para asegurar 3, 4 y 5 aciertos. ¿Todavía cree en el BALOTO?

Se trata de un cálculo directo de combinaciones. ¿Cuántas combinaciones hay de 45 elementos (los 45 posibles números) tomados de 6 en 6?
En nuestra fórmula, n=45 y m=6.

18.- En una sala de espera se encuentran 5 personas: 3 hombres y 2 mujeres.
¿De cuántas maneras pueden sentarse en una fila?
¿De cuántas maneraspueden sentarse en fila si los hombres se sientan juntos y las mujeres también?
¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila si justamente las mujeres se sientan Juntas?
¿De cuántas maneras pueden sentarse en una mesa redonda?
1) 5*4*3*2*1 = 120 formas hacer la fila.

2) Supongamos que primero se acomadan las mujeres:

2*1 = solo hay dos formas de acomodarse

Los hombres tienen :3*2*1 = 6 formas de acomodarse

Por tanto, combinando las formas de las mujeres con los hombres tenemos.

2*6 = 12 formas de sentarse

3) Si consideramos a las mujeres como un solo caso, el total de personas a acomodar es de:

4*3*2*1 = 24

Sin embargo, dado que las dos mujeres en cada caso pueden intercambiar de lugar el total de casos es :

24*2 = 48

4) Es el mismo caso de la fila :120

19.- En una urna se tienen 10 bolitas: 5 rojas, 3 blancas y 2 azules. Si se toman 3 con reemplazo, ¿de cuántas maneras se pueden sacar las tres bolitas de modo que todas sean del mismo color?
P (sacar 3 rojas) = 5/10 x 5/10 x 5/10 x C (6, 1) = 6/8 = 3/4
P (sacar 3 blancas) = 3/10 x 3/10 x 3/10 x C (8, 1) = 8/1000 = 1/125

P (sacar 3 bolas del mismo color con reemplazo) = P (3 rojas ó...
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