Estadistica


















INTRODUCCIÓN

Una distribución de probabilidad es una representación de todos los resultados posibles de algún experimento y de la probabilidad relacionada con cada uno.

Una distribución de probabilidad es discreta cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de variables aleatorias discretas, es decir, de variables que sólo puede tomarciertos valores, con frecuencia números enteros, y que resultan principalmente del proceso de conteo.

Las principales distribuciones de variables discretas. Una distribución de probabilidades para una variable aleatoria discreta es un listado mutuamente excluyente de todos los resultados numéricos posibles para esa variable aleatoria tal que una probabilidad específica de ocurrencia se asocia concada resultado.

Una distribución de probabilidad es continua cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de variables aleatorias continuas, es decir, de variables cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan principalmente del proceso de medición.

El valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta es un promedio ponderado de todos los posiblesresultados, donde las ponderaciones son las probabilidades asociadas con cada uno de los resultados.





















Distribución de Bernoulli

Consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p el que no lo sea (fracaso). En realidad no se trata más que deuna variable dicotómica, es decir que únicamente puede tomar dos modalidades, es por ello que el hecho de llamar éxito o fracaso a los posibles resultados de las pruebas obedece más una tradición literaria o histórica, en el estudio de las v.a., que a la situación real que pueda derivarse del resultado. Podríamos por tanto definir este experimento mediante una v.a. discreta X que toma losvalores X=0 si el suceso no ocurre, y X=1 en caso contrario, y que se denota 

Ejemplo.

La v.a. que define el experimento lanzamiento de una moneda sigue una distribución de Bernoulli de parámetro p. Donde p es la probabilidad del suceso de interés, cara o cruz.


Función de probabilidad.



El valor esperado de la variable aleatoria es p y su varianza, p (1-p).

Distribución BinomialLa distribución Binomial de parámetro n y p (Bi (n, p)) surge como una secuencian intentos del tipo de Bernoulli que verifica:

Los intentos son independientes.
Cada resultado del intento puede tomar únicamente dos resultados mutuamente
excluyentes, que denotaremos por EXITO (E) o FRACASO (F).
La probabilidad de éxito (y por lo tanto la de fracaso) es constante en cada intento.

Así cadaintento, definiendo p = P (EXITO) y asignando el valor 0 cuando ocurre F y el valor 1 cuando ocurre E, se puede describir como una distribución de Bernoulli de parámetro p.

Una v.a. X tiene una distribución Binomial si (para algún entero positivo n y algún p con 0 ≤ p ≤ 1) mide

X = "n° de éxitos de un total de n si la probabilidad de éxito es p"

P (X = k) =pk (1 – p) n−k si k = 1, 2,. . . , n° en el otro caso

(Ver figura 1).

La forma de la distribución binomial va aumentando hasta m = (n + 1) p y después comienza a bajar.

Una v.a. binomial puede ser considerada como una suma de n variables aleatorias de Bernoulli de parámetro p, es decir, como la variable indicadora delnúmero de éxitos en n pruebas de Bernoulli, es decir, si denotamos por Xi eli-ésimo intento deBernoulli, entonces, X = Xi





Ejemplo.

En una fábrica hay 12 máquinas. Cada una de ellas está averiada un día de cada 10. ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado día haya más de 3 máquinas averiadas?

Sea la variable X ="no de máquinas averiadas de un total de 12 si P (avería) = 0, 1" ∈ Bi (n = 12, p = 0.1).

P(X>3) =1P (X≤3) =1=10.9744=0.0256.

La v.a. binomial está...