Estadistica

En estadística descriptiva se denomina rango estadístico (R) o recorrido estadístico al intervalo de menor tamaño que contiene a los datos; es igual a la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo; por ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.
Por ejemplo, parauna serie de datos de carácter cuantitativo, como lo es la estatura medida en centímetros, tendríamos:
x_1=185, x_2=165, x_3=170, x_4=182, x_5=155
es posible ordenar los datos como sigue:
x_{(1)}=155, x_{(2)}=165, x_{(3)}=170, x_{(4)}=182, x_{(5)}=185
donde la notación x(i) indica que se trata del elemento i-ésimo de la serie de datos. De este modo, el rango sería la diferencia entre elvalor máximo (k) y el mínimo; o, lo que es lo mismo:
R=x_{(k)}-x_{(1)}Varianza En teoría de probabilidad, la varianza (que suele representarse como \sigma^2) de una variable aleatoria es una medida de dispersióndefinida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.
Está medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si la variablemide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La desviación estándar, es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio. La varianza tiene como valor mínimo 0. Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy influida por los valores atípicos y no seaconseja su uso cuando las distribuciones de las variables aleatorias tienen colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otras medidas de dispersión más robustas. El término varianza fue acuñado por Ronald Fisher en un artículo de 1918 titulado The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.
* [editar]Definición Dada una variable aleatoria X con media μ =E(X), se define su varianza, Var(X) (también representada como \scriptstyle\sigma_X^2 o, simplemente σ2), como
\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[ ( X - \mu ) ^ 2].\,
Desarrollando la definición anterior, se obtiene la siguiente definición alternativa (y equivalente):
\begin{align} \operatorname{Var}(X) & = \operatorname{E}[ ( X - \mu ) ^ 2 ] \\ & = \operatorname{E}[ ( X ^ 2 - 2X\mu +\mu ^ 2) ] \\ & = \operatorname{E}( X ^ 2) - 2\mu\operatorname{E}(X) + \mu ^ 2 \\ & =\operatorname{E}( X ^ 2) - 2\mu ^ 2 + \mu ^ 2 \\ & = \operatorname{E} ( X ^ 2) - \mu ^ 2. \end{align} Si una distribución no tiene esperanza, como ocurre con la de Cauchy, tampoco tiene varianza. Existen otras distribuciones que, aun teniendo esperanza, carecen de varianza. Un ejemplo de ellas es la de Paretocuando su índice k satisface 1 < k ≤ 2. [editar]Caso continuo Si la variable aleatoria X es continua con función de densidad f(x), entonces
\operatorname{Var}(X) =\int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx\,,
donde
\mu = \int x \, f(x) \, dx\,, y las integrales están definidas sobre el rango de X. [editar]Caso discreto Si la variable aleatoria X es discreta con pesos x1 ↦ p1, ..., xn ↦ pn, entonces\operatorname{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2
donde
\mu = \sum_{i=1}^n p_i\cdot x_i . [editar]Ejemplos [editar]Distribución exponencial La distribución exponencial de parámetro λ es una distribución continua con soporte en el intervalo [0,∞) y función de densidad
f(x) = \lambda e^{-\lambda x}1_{[0,\infty)}(x),\,
Tiene media μ = λ−1. Por lo tanto, su varianza es:
\int_0^\infty f(x)(x - \mu)^2\,dx = \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} (x - \lambda^{-1})^2\,dx = \lambda^{-2}.\,
Es decir, σ2 = μ2. [editar]Dado perfecto Un dado de seis caras puede representarse como una variable aleatoria discreta que toma, valores del 1 al 6 con probabilidad igual a1/6. El valor esperado es (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Por lo tanto, su varianza es:
\sum_{i=1}^6 \tfrac{1}{6} (i - 3,5)^2 =...