Estadistica

Páginas: 18 (4283 palabras) Publicado: 15 de enero de 2013
´ Universidad de Cadiz Departamento de Matem´ticas a

´ MATEMATICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´cnicas e

Tema 13 Distribuciones bidimensionales. Regresi´n y correlaci´n lineal o o

Elaborado por la Profesora Doctora Mar´ Teresa Gonz´lez Montesinos ıa a

´ Indice
1. Variables estad´ ısticas bidimensionales 2. Regresi´n lineal. Rectas de regresi´n o o2.1. Recta de regresi´n de Y sobre X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.2. Determinaci´n de la recta de regresi´n: m´todo de los m´ o o e ınimos cuadrados 2.3. C´lculo abreviado de la recta de regresi´n de Y sobre X . . . . . . . . . . a o 2.4. Recta de regresi´n de X sobre Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1 1 2 2 4 6 6 6 7 11

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3. Correlaci´n lineal o 3.1. coeficiente de correlaci´n lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2. Variaci´n y estudio de las propiedades del coeficiente de correlaci´n . . . . . . . . . . . o o 4. Ejercicios propuestos

Tema 13

1

1. Variables estad´ ısticas bidimensionales
La consideraci´n simult´nea de dos seriesestad´ o a ısticas que provienen de la medida de dos caracteres de una misma poblaci´n, o de dos poblaciones distintas, recibe el nombre de distribuci´n o o bidimensional. Las dos series estad´ ısticas consideradas simult´neamente constituyen una serie estad´ a ıstica doble. Cada elemento de esta serie doble viene medido o representado por dos caracteres (estatura, peso), (nota–f´ ısica,nota–matem´ticas), (estatura–padre, estatura–hijo). La variaci´n simult´nea de ambos a o a caracteres constituye una variable bidimensional denotada por (x, y). Por ejemplo, supongamos que los alumnos de un curso de tercero de BUP son 20 y que han obtenido las siguientes puntuaciones: F´ ısica: 5, 4, 3, 7, 2, 9, 8, 6, 4, 6, 5, 4, 7, 3, 8, 2, 4, 7, 4, 8. Matem´ticas: 4, 6, 5, 7, 2, 8, 5, 5, 7, 6, 6, 5, 4, 5, 7,3, 6, 8, 3, 9. a Son dos series estad´ ısticas unidimensionales que, consider´ndolas simult´neamente, constituyen la serie a a estad´ ıstica doble de variable bidimensional (x, y) =(F´ ısica,Matem´ticas): a (x, y) =(5, 4), (4, 6), (3, 5), (7, 7), (2, 2), (9, 8), (8, 5), (6, 5), (4, 7), (6, 6), (5, 6), (4, 5), (7, 4), (3, 5), (8, 7), (2, 3) (4, 6) (7, 8), (4, 3), (8, 9). Podemos representar, en elplano, fijando un par de ejes cartesianos, cada pareja de valores correspondientes a las dos series estad´ ısticas, form´ndose as´ una nube de puntos. As´ la nube de puntos a ı ı, correspondiente al ejemplo anterior ser´ ıa
Matem´ticas a

F´ ısica

2. Regresi´n lineal. Rectas de regresi´n o o
El origen de la palabra regresi´n es debido al bi´logo Galton al comparar, en sus investigaciones o osobre la herencia gen´tica, la estatura de los padre y de los hijos. Observ´ este autor que los de padres e o altos (que sobrepasaban la media de la poblaci´n) eran tambi´n altos, pero menos. Es decir, esos hijos o e se acercaban (regresaban) a la media. An´logamente ocurr´ con hijos de padres bajos, inferiores a a ıa la media.

2

Matem´ticas para estudiantes de primer curso de facultades yescuelas t´cnicas a e

Y Pj (xj , yj ) Q2 P2 P1 Qj (xj , mxj + n) Q1 α : tg α = m n O Figura 1 X y = mx + n

2.1. Recta de regresi´n de o

Y

sobre

X

Supongamos una nube de puntos de una serie bidimensinal (figura 1). Queremos buscar una recta y = mx + n sobre la cual situar los puntos de la nube: Pi −→ Qi . Cometeremos un error de estimaci´n o o c´lculo que vamos a precisar.Proyectemos, paralelamente al eje de ordenadas OY , todos los puntos a Pi (xi , yi ) de la nube sobre la recta y = mx + n (figura 1). Obtendremos los nuevos puntos Qi (xi , mxi + n). Tenemos as´ dos series de puntos: ı Las coordenadas antiguas, Pi (xi , yi ), correspondientes a los valores experimentales (reales) de las dos series estad´ ısticas, cuyo estudio simult´neo constituye la serie estad´ a...
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