Estadìstica inferencial

Prueba de Hipótesis

Def. Una hipótesis estadística es un enunciado acerca de los parámetros de una o más poblaciones (también puede ser acerca de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria).

El procedimiento de decisión se llama Prueba de Hipótesis.

Una prueba de hipótesis consta de los siguientes componentes:
1. Hipótesis nula o Ho
2. Hipótesis alternativa o Ha3. Significancia de la prueba
4. Datos de muestra(s)
5. Estadístico
6. Criterio de rechazo
7. Conclusión

Por ejemplo suponga que se tiene interés en la media de la rapidez de combustión de cierto propulsor (parámetro de la población), específicamente se quiere decidir si la media de la rapidez de combustión es 50 cm/s o no. Esto puede expresarse

Ho: μ=50
Ha: μ≠50Las hipótesis pueden ser de diferentes tipos: bilateral o dos colas y unilateral o una cola. Puesto que la hipótesis alternativa en el ejemplo especifica que la media podría ser mayor o menor que 50, se le llama hipótesis alternativa de dos colas. En muchas situaciones se puede querer formular una hipótesis alternativa de una cola, como en

Cola inferior Cola superior
Ho: μ=50 Ho:μ=50
Ha: μ50

Recordatorio: En un intervalo de confianza, se le llama confianza al área dentro del intervalo (1-α), que es la probabilidad que el parámetro esté entre el intervalo. Al área fuera del intervalo se le llama α.

Una prueba de hipótesis se puede visualizar como un intervalo de confianza. Acá nos interesa α, la significancia, que se refiere al área o región fuera del intervalo. Aesta región se le llama región de rechazo. Al área o región entre el intervalo se le llama región de no rechazo (y en algunas ocasiones región de aceptación). La frontera(s) entre área(s) define valores críticos, que son usados en el criterio de rechazo.

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En una prueba de hipótesis se pueden tomar únicamente dos acciones:
- rechazar la hipótesis nula
- no rechazar lahipótesis nula

Tipos de Error y Probabilidades Asociadas:
Al realizar una de estas acciones se puede cometer error. Por lo tanto hay dos tipos de error al realizar una prueba de hipótesis:

Error tipo I: rechazar la hipótesis nula cuando no se debería (cuando esta es verdadera)
Error tipo II: no rechazar la hipótesis nula cuando se debiera (cuando esta es falsa)

Cada tipo de error tieneasociada una probabilidad de cometerse:
Probabilidad de cometer error tipo I = α, que se le llama también nivel de significancia.
Probabilidad de cometer error tipo II= β.

Ambas probabilidades de error están relacionadas.
Si deseamos bajar α, podemos ampliar el intervalo o en otras palabras reducir la región de rechazo. Al hacer esto aumenta β.
La probabilidad β disminuye conforme el verdaderovalor del parámetro se aleja del valor propuesto o hipotético. Por lo general no podemos saber β, ya que no conocemos el valor verdadero del parámetro. La única forma de saber β es diseñando uno la prueba, definiendo alfa y beta y después encontrando el tamaño de muestra necesario para cumplir con ambos.
La única forma de reducir ambas probabilidades de cometer error es aumentando el tamaño demuestra (entre más información tengamos, menos probabilidad de confundirnos tenemos).

Hay dos tipos de conclusiones: robustas y débiles
Conclusión robusta: es aquella en que conocemos la probabilidad de hacerla equivocadamente. Una conclusión robusta es al rechazar la Ho, ya que conocemos el riesgo de confundirnos que es alfa y lo podemos controlar. La conclusión robusta es entonces ACEPTAR laHa.
Conclusión débil: es aquella en que no conocemos el riesgo de hacerla equivocadamente. Una conclusión débil es al no rechazar la Ho y aceptar Ho. No conocemos beta generalmente y por esto no se dice aceptar Ho en estos casos. Se dice: no hay evidencia para rechazar la Ho y aceptar Ha.
Básicamente, deseamos hacer conclusiones robustas, no débiles.

Potencia de una Prueba: es la...