Estatica Sistemas Suspendidos Por Sus Extremos

Formalismo discreto y continuo para sistemas suspendidos por sus extremos
(un problema de estática)



Julio Pozo, Rosa María Chorbadjian y Esteban Montero


Departamento de Ciencias Básicas, Facultad de Ciencias de la Ingeniería


Universidad Diego Portales Casilla 298-V, Santiago

e-mail: julio.pozo@udp.cl




Resumen


En este trabajo se estudia la suspención por losextremos de un sistema discreto representado por una cadena formada por[pic] bolitas (esferas) igualmente repartidas sobre un hilo de longitud[pic], en donde se determinan tanto las coordenadas como los ángulos de cada una de ellas en términos de los parámetros involucrados. También se investiga el caso de un sistema continuo representado por un cable de densidad lineal homogénea, que tieneigual longitud que la cadena. Para realizar el análisis y la comparación entre estos casos, se desarrollan los formalismos matemáticos respectivos, que son fundamentales en la descripción del comportamiento que ofrecen ambos sistemas.
Como es evidente, se encuentra que la curva que describe a un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido a otras fuerzas distintas que supropio peso es una catenaria, lo relevante de este trabajo es que permite establecer cuales deben ser los valores de los parámetros: N (número de esferas o bolitas) y [pic]densidad lineal (peso de cada bolita por unidad de la componente horizontal de la tensión del hilo) para que el sistema discreto coincida prácticamente con el continuo, esto es, que las posiciones de la mayoría de las esferas dela cadena estén sobre la catenaria.
Los resultados obtenidos permiten comparar ambos sistemas, y observar como el modelo discreto y continuo coinciden cuando el parámetro [pic] es grande, incluso cuando el número de esferas N es pequeño.
Finalmente se analiza el caso continuo (cable) cuando los dos extremos no están a la misma altura (catenaria no simétrica)


1. IntroducciónConsideremos una cadena formada por [pic] bolitas metálicas idénticas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud [pic] de masa despreciable, tal como se muestra en la figura.













2. Formulación sistema discreto

En la siguiente figura se muestran las tres fuerzas a las cuales está sometida cada bolita, éstas son: el peso[pic], la fuerza que ejerce el hilo a suizquierda y a su derecha.














La condición de equilibrio (estático) para la bolita [pic]-ésima de masa [pic] queda expresada como:


Eje [pic]: [pic] [pic] (1)

Eje [pic]: [pic] [pic] (2)


Dado que todas las componentes horizontales de la tensión del hilo[pic] son iguales, se puede escribir.
[pic] (3)

Por otro lado, dividiendo la ecuación (2) por [pic] se tiene


[pic] (4)

De la expresión anterior, es posible encontrar la relación entre[pic] y[pic], para lo cual reemplazamos (3) en (4) obteniéndose[pic] (5)

Definiendo: [pic] como el cociente entre el peso de cada bolita y la componente horizontal de la tensión, la relación de recurrencia a partir de (5) se puede expresar como:

[pic] (6)

Sumando miembro amiembro se obtiene el ángulo [pic] en términos de del ángulo inicial [pic] en la forma: [pic]

Por simetría, si los extremos del cable están a la misma altura se tiene [pic] lo cual permite escribir

[pic] (7)

Al sumar miembro a miembro la relación de recurrencia (6) hasta el...