Estatica

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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE POZA RICA

INGENIERÍA PETROLERA

2do. SEMESTRE GRUPO “B”

ESTÁTICA

FUERZAS DISTRIBUIDAS:
CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD.

LOURDES ALEJANDRA VITE ORTEGA
106P0592

MAYO 2011
5.1 INTRODUCCIÓN:

Se ha supuesto que la tierra ejerce una fuerza sobre los cuerpos rígidos, llamada W. Esta fuerza, denominada fuerza de gravedad, debería aplicarseal centro de gravedad del cuerpo; mas sin embargo, la atracción que ejerce la tierra sobre el cuerpo es distribuida por todo éste. Cada una de las pequeñas fuerzas que existen en el cuerpo cuando se distribuyen, deben ser reemplazadas por una sola, la fuerza W. De esto es sobre lo que hablará esta unidad, y al final del capítulo sabremos como determinar el centro de gravedad en cuerpostridimensionales como el centroide de un cuerpo voluminoso y los momentos de dicho cuerpo.

ÁREAS Y LÍNEAS

5.2 CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL

Considere una placa plana horizontal (Fig. 5.1); esta placa puede dividirse en n partes pequeñas. Los puntos coordenados para la primer parte son X1 y Y1; y para la segunda parte son X2 y Y2 y así sucesivamente. Las fuerzas ejercidas por latierra son representadas por ∆W1, ∆W2,…, ∆Wn.. Estas fuerzas están dirigidas hacia el centro de la tierra y para fines prácticos se pensar que son paralelas. La magnitud W de esta fuerza se obtiene a partir de las magnitudes de las pequeñas fuerzas de cada una de las partes:

∑Fz: W= ∆W1 + ∆W2 +…+ ∆Wn

Los momentos de W con respecto a los ejes x y y son iguales a la suma de losmomentos correspondientes de los pesos elementales, esto es:

∑My: xˉW = X1 ∆W1 + X2 ∆W2 + … + Xn ∆Wn
∑Mx: yˉW = Y1 ∆W1 + Y2 ∆W2 + … + Yn ∆Wn 5.1

Si se incrementa el número de elementos en los que se ha dividido la placa y a la ve se disminuye el tamaño de cada parte se obtiene lo siguiente:
W = ∫dW xˉW = ∫xdW yˉW = ∫y dW 5.2

Estas ecuaciones definen el peso o fuerza W y las coordenadas de x” y y” del centro de gravedad G de una placa plana. No siempre el punto o centro de gravedad G esta colocado sobre el cuerpo rígido, como se muestra en la Fig. 5.2

5.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS

Para el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud∆W del peso de un elemento de la placa se expresa como:
∆W = ∂t ∆A
Donde: ∂ = peso especifico
t = espesor de la placa
∆A = área del elemento

Es decir, la magnitud del peso en toda la placa se expresa como:
W = ∂tA
Donde A es el área total de toda la placa.

En Estados Unidos las unidades de medida para el peso específico ∂ se expresa en lb/ft3, elespesor t en pies y las áreas ∆A y A en pies cuadrados. Por lo tanto, ∆W y W se expresarán en libras. En cambio si usamos las unidades del Sistema Internacional, ∂ se expresa en N/m3, t en metros y las áreas ∆A y A en metros cuadrados, entonces los pesos ∆W y W se expresarán en newton.

Si se sustituyen ∆W y W en las ecuaciones 5.1, se divide entre ∂t, obtenemos:
∑My: xˉA = X1 ∆A1 + X2∆A2 + … + Xn ∆An
∑Mx: yˉA = Y1 ∆A1 + Y2 ∆A2 + … + Yn ∆An

Si se incrementa el número de elementos en los cuales se divide el área A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, se obtiene en el límite:
xˉA = ∫x dA yˉA = ∫y dA 5.3
Estas ecuaciones nos indican como determinar el centro de gravedad de una placahomogénea. El centroide C del área A de la placa (Fig. 5.3) se ubica con los puntos x” y y”. Sin embargo, si la placa no es homogénea estas ecuaciones no son útiles para conocer el centro d gravedad de la placa, pero si para definir el centroide del área.

En el caso de un alambre de sección transversal uniforme, la magnitud ∆W del peso de un elemento del alambre se expresa como:
∆W = ∂a ∆L...
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