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´ Mecanica

de

´ Solidos

y
AA 07/08

Sistemas

Estructurales
Apostilla

Departamento de Estructuras de Edificaci´n o Escuela T´cnica Superior de de Arquitectura de Madrid e

9-4-2008

Trabajos virtuales en cerchas
Trabajo de una fuerza
El producto escalar de dos vectores, u y v, se define como el producto de sus m´dulos por el o coseno del ´ngulo que forma, α: a u·v =| u || v| cos α El ejemplo m´s apropiado es, quiz´s, el trabajo realia a zado por una fuerza, F , al desplazarse una cierta distancia, a: W = F ·a = F a cos α = F (a cos α) = a(F cos α)
j Sji j
j + ∆ℓ i

v u α

(Debe quedar claro que, antes de moverlos imaginariamente, los nudos ya se hab´ desplazado a la posiıan ci´n de equilibrio real, —y las barras, alargado o acoro tado.)

i Sij Nij i

ℓ ijNji De acuerdo con las dos ultimas expresiones, el trabajo ´ puede interpretarse como el producto de la fuerza por la distancia recorrida en su propia direcci´n, a cos α, o o Al considerar cada barra ij aisladamente tambi´n e bien como el producto de la distancia por la compo- debe tratarse de un cuerpo en equilibrio. Debido a ello nente de la fuerza en la direcci´n de aquella, F cos α. o y alprincipio de acci´n y reacci´n se cumplir´ en cada o o a El producto escalar de vectores ortogonales es nu- barra: lo. Tambi´n es nulo cuando uno cualquiera de los dos e vectores es nulo. Igual le pasa al trabajo. Nij = −Nji Sij = −Sji Sij = −Nij

Interpretaci´n ‘laboral’ del equilibrio o
En una cercha en equilibrio, la Sij suma de fuerzas aplicadas en ri cualquiera de sus partes ha de Sik sernula. Si cortamos alrededor i de un nudo, por ejemplo el i, tendremos la fuerza exterior, ri , y a∗ i una fuerza interna, Sij , por cada barra que acabe en el nudo i. El equilibrio de la cercha exige una suma nula: ri +
j

Y la expresi´n (1) puede transformarse en: o (ri −
i j ∗ Nij )· ai = 0

es decir: ri · a∗ = i
i i j

Nij · a∗ i

Sij = 0

Es evidente que si multiplicamosescalarmente la expresi´n anterior por un escalar o un vector arbitrarios o la expresi´n resultante ser´ tambi´n nula: o a e (ri +
j

En la ultima expresi´n, el primer t´rmino es el tra´ o e bajo virtual de las fuerzas exteriores o, abreviadamen∗ te, trabajo virtual exterior, Wext ; el segundo t´rmino, e ∗ an´logamente, es el trabajo virtual interior, Wint . En a consecuencia, la ultima expresi´n puedeleerse as´ ´ o ı: En una cercha en equilibrio, el trabajo virtual exterior debe ser igual al trabajo virtual interior, cualquiera que sean los desplazamientos virtuales empleados.

Sij )·λ = 0

o ´

(ri +
j

Sij )·v = 0

En particular, podemos imaginar que desplazamos el nudo i una cierta distancia, a∗ , lo que involucra un i trabajo nulo que, en todo caso, es tan imaginario o virtualcomo el propio desplazamiento a∗ : i (ri +
j ∗ Sij )· ai = 0

Trabajo interior en una cercha
En la suma del trabajo virtual interior,
∗ Wint = i j

Nij · a∗ i

Podemos desplazar, siempre imaginariamente, cada uno cada barra contribuir´ con dos sumandos, uno por cada a ∗ de los nudos distancias ai , a∗ ,. . . La suma de los traj uno de sus extremos. As´ la contribuci´n de la barra ı, obajos virtuales de todos los nudos seguir´ siendo nula: a ∗ ij ser´: Nij ·a∗ + Nji·aj . Ahora bien, como Nij = −Nji , a i u o ∗ (1) podemos sacar factor com´ n a Nij y la contribuci´n de Sij )· ai = 0 (ri + ij ser´ Nij ·(a∗ − a∗ ). a j i i j

AB ≈ ∆ℓ∗ , Ai∗ = a∗ − a∗ , ij i j j ∗i∗ es la posici´n imaginada o para la barra. ij A ji j∗ a∗ j i

B i∗

∗ ai

a∗ j
j Nji

Nij

ℓ ij

j + ∆ℓ isolicitaciones y alargamientos de las barras. Si ahora deseamos saber, por ejemplo, el desplazamiento vertical del nudo j de esa cercha, podemos proceder imaginando una cercha gemela de la anterior, en adelante cercha patr´n, que cargamos con una fuerza vertio cal unidad en el nudo j, (Vj = 1). Podemos aplicar la expresi´n (2) a esta cercha patr´n. Como podemos o o elegir arbitrariamente...
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