Estimadores estadisticos

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Estimador
En estadística, un estimador es un estadístico (esto es, una función de la muestra) usado para estimar un parámetro desconocido de la población. Por ejemplo, si se desea conocer el precio medio de un artículo (el parámetro desconocido) se recogerán observaciones del precio de dicho artículo en diversos establecimientos (la muestra) y la media aritmética de las observaciones puedeutilizarse como estimador del precio medio
Estimador Consistencia
Si no es posible emplear estimadores de mínima varianza, el requisito mínimo deseable para un estimador es que a medida que el tamaño de la muestra crece, el valor del estimador tienda a ser el valor del parámetro, propiedad que se denomina consistencia. Existen diversas definiciones de consistencia, más o menos restrictivas, pero lamás utilizada es la denominada consistencia en media cuadrática que exige que:
1. cuando
2. cuando

Estimadores insesgados
Sea una población, una m.a.s. de X, y un estimador de  . Se llama sesgo del estimador a la funciónSe dice que el estimador es insesgado si su sesgo es igual a cero, esto es, si |
1. Obsérvese que escribimos el sesgo de un estimador con la letra "b", en lugarde la letra "s", como parecería más normal. Esto ocurre porque, como sabemos, la letra "s" se emplea para designar la desviación típica de unos datos (de una muestra). En su lugar, se emplea la inicial de la palabra "biais" (léase bié), que es la expresión francesa para sesgo.
2. El sesgo de un estimador es un número, que depende del valor del parámetro, . Por tanto, es una función delparámetro. En efecto, como veremos en los siguientes ejemplos, la esperanza del estimador, es una función del parámetro porque la función de densidad o de probabilidad del estimador depende del mismo. En consecuencia el sesgo depende también de .
3. Un estimador insesgado (con sesgo nulo) tiene por esperanza el valor del parámetro, sea quien sea éste. Por ello, a los estimadores insesgados se lesdenomina también centrados. Nótese que si utilizamos un estimador insesgado, "acertamos" en media, esto es, el valor esperado del estimador es la cantidad que queremos estimar.
4. Ello no quiere decir, no obstante, que las estimaciones (que son los valores que toma el estimador) se parezcan al parámetro, por el mismo motivo que una variable de Bernoulli b(p), tiene por esperanza p, aunque susvalores son cero y uno. En otras palabras, una variable aleatoria no tiene por qué estar cerca de su esperanza, luego un estimador insesgado no tiene por qué estar cerca del parámetro.
5. Obsérvese, finalmente, que se habla de estimadores insesgados. Esta propiedad no se aplica a las estimaciones, esto es, no tiene sentido decir que una estimación es o no es insesgada.
Observa qué ocurrecon los estimadores anteriores en la continuación del Ejemplo1 y en la continuación del Ejemplo2
¿Conviene utilizar estimadores insesgados? o, dicho de otra forma, la insesgadez, ¿es una propiedad de interés para los estimadores?
En esta ilustración se muestra la función de densidad de dos estimadores de . es la densidad de un estimador insesgado, , mientras que es la de un estimador sesgado, .|
Pero puede observarse que aunque el estimador sea sesgado, asigna mayores probabilidades que a los valores próximos a  , esto es, resulta más probable que las estimaciones obtenidas con se encuentren más próximas al parámetro que las obtenidas con .
Dicho de otra forma, la propiedad interesante para un estimador es su proximidad al parámetro, sea éste su esperanza o no lo sea. Una formade valorar esta proximidad es a través de la dispersión cuadrática, del estimador con respecto al parámetro, denominada error cuadrático medio.
Error cuadrático medio. Estimadores insesgados de varianza mínima
Sea una población, una m.a.s. de X, y un estimador de  . El error cuadrático medio del estimador es la esperanza . Se demuestra queesto es, el error cuadrático medio es la suma de la...
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