Estructura Por Matricial

[Resistencia De Materiales II - Practica 32]

Victor Martin Arcos

La figura siguiente representa el esquema de una estructura articulada. La barra CD está sometida a una variación de temperatura de 60ºC, y a acción de una fuerza transmitida por un tensor de 20kN. Determinar, aplicando el cálculo matricial de estructuras: 1.- Numeración de nudos, barras y grados de libertad. 2.- Matrices derigidez de todas las barras en coordenadas globales. 3.- Planteamiento de la matriz de rigidez de la estructura. 4.- Vectores de fuerzas y desplazamientos. 5.- Resolución de la ecuación matricial. 6.- Reacciones en los apoyos. 7.- Esfuerzos en todas las barras. 8.- Deformada aproximada de la estructura, a partir de los desplazamientos calculados.

C

∆T= 60ºC

D

P = 20 kN
4m

A
4m

BE= 200GPA;

A=100mm2;

= 1.2 ∗ 10 º

1

[Resistencia De Materiales II - Practica 32]

Victor Martin Arcos

1.- Numeración de nudos, barras y grados de libertad.

2.- Matrices de rigidez de todas las barras en coordenadas globales Para las barras a, b, c, d el termino Para las barras e, f el termino • Barra a o α=0 o cosαsenα=0 o cos2α=1 o sen2α=0
K
.

es
EA L

EA L

=200000×100 4000

= 5000

es

=

200000×100 4000√

= 3535

cos α &'( ∝ *+& ∝ −cos α −&'( ∝ *+& ∝ EA &'( ∝ *+& ∝ &'( −&'( ∝ *+& ∝ −&'( = ! L −cos α −&'( ∝ *+& ∝ cos α &'( ∝ *+& ∝ −&'( ∝ *+& ∝ −&'( &'( ∝ *+& ∝ &'( K
.

5000 0 =! −5000 0

0 0 0 0

−5000 0 5000 0

0 01 0 -=/ 1 02 0 0

0 12 1 3 022

2

[Resistencia De Materiales II - Practica 32] • Barra b o α=90º ocosαsenα=0 o cos2α=0 o sen2α=1
K
4 .



cos α &'( ∝ *+& ∝ EA &'( ∝ *+& ∝ &'( = ! L −&'( ∝ *+& ∝ −cos α −&'( ∝ *+& ∝ −&'( K
5 .

•

Barra c o α=90º o cosαsenα=0 o cos2α=0 o sen2α=1
K
9 .

0 0 0 5000 =! 0 0 0 −5000

0 0 0 0

0 07 −5000 -=6 7 0 05 5000

−cos α −&'( ∝ *+& ∝ −&'( ∝ *+& ∝ −&'( cos α &'( ∝ *+& ∝ &'( ∝ *+& ∝ &'( 0 75 7 8 055

cos α &'( ∝ *+& ∝ EA &'( ∝ *+& ∝ &'( = ! L −cosα −&'( ∝ *+& ∝ −&'( ∝ *+& ∝ −&'( K 2:
.

•

Barra d o α=0 o cosαsenα=0 o cos2α=1 o sen2α=0
K 49
.

0 0 0 5000 =! 0 0 0 −5000

0 0 0 0

0 0; −5000 - = / 22 ; 0:2 0 5000

−cos α −&'( ∝ *+& ∝ −&'( ∝ *+& ∝ −&'( cos α &'( ∝ *+& ∝ &'( ∝ *+& ∝ &'(
; 02: ; 3 0::

cos α &'( ∝ *+& ∝ −cos α −&'( ∝ *+& ∝ EA &'( ∝ *+& ∝ &'( −&'( ∝ *+& ∝ −&'( = ! L −cos α −&'( ∝ *+& ∝ cos α &'( ∝ *+& ∝ −&'( ∝*+& ∝ −&'( &'( ∝ *+& ∝ &'( K 49
.

5000 0 =! −5000 0

0 −5000 0 0< 0 0 0 - = 6 55 < 0 5000 0 0:5 0 0 0

< 05: 8 < 0::

3

[Resistencia De Materiales II - Practica 32] • Barra e o α=45º o cosαsenα=0.5 o cos2α=0.5 o sen2α=0.5
K
: .

Victor Martin Arcos

cos α &'( ∝ *+& ∝ −cos α −&'( ∝ *+& ∝ EA &'( ∝ *+& ∝ &'( −&'( ∝ *+& ∝ −&'( = ! L −&'( ∝ *+& ∝ cos α &'( ∝ *+& ∝ −cos α −&'( ∝ *+&∝ −&'( &'( ∝ *+& ∝ &'(
.

K

9

1767.5 1767.5 −1767.5 −1767.5 0? 1767.5 1767.5 −1767.5 −1767.50 =! -=/ ? 0: −1767.5 −1767.5 1767.5 1767.5 −1767.5 −1767.5 1767.5 1767.5

0 ?: ? 3 0::

•

Barra f o α=135º o cosαsenα=-0.5 o cos2α=0.5 o sen2α=0.5
K
4 .

cos α &'( ∝ *+& ∝ −cos α EA &'( ∝ *+& ∝ &'( −&'( ∝ *+& ∝ = ! L −cos α −&'( ∝ *+& ∝ cos α −&'( ∝ *+& ∝ −&'( &'( ∝ *+& ∝

K

4.

1767.5 −1767.5 −1767.5 1767.5 A 0 −1767.5 1767.5 1767.5 −1767.50 =! = @ 22 A −1767.5 1767.5 1767.5 −1767.5 052 1767.5 −1767.5 −1767.5 1767.5

−&'( ∝ *+& ∝ −&'( &'( ∝ *+& ∝ &'( 025 055
A A

B

4

[Resistencia De Materiales II - Practica 32]
01 + 07 + 0? H 1 02 G =G 7 05 G ? 0: F
1767.5 6767.5 0 0 0 −5000 −1767.5 −1767.5

Victor Martin Arcos
0 ?:

3.- Planteamiento de la matrizde rigidez de la estructura.
K CDE
1 ; 022 + 022 + 022 ; 0:2

052
A

0 12

A

7 < 055 + 055 + 055 < 0:5 A

025
A

0 75

L K K < 05: K ; < ? 0:: + 0:: + 0:: J
; 02:

K CDE

6767.5 H 1767.5 G −5000 G 0 =G 0 G 0 G G−1767.5 F−1767.5

−5000 0 6767.5 −1767.5 −1767.5 1767.5 0 0

0 0 −1767.5 6767.5 1767.5 −1767.5 0 −5000

0 0 −1767.5 1767.5 6767.5 −1767.5 −5000 0

0...