Estructuras, arreglos y movimiento de los atomos

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Unidad

DERIVADAS.

1. Definición de la derivada.
2. Interpretación geométrica y física de la derivada.
3. Derivada de la función constante, derivada del producto de una constante por una función, derivada de la función xn cuando n es un entero positivo, y cuando n es un número real, derivada de una suma de funciones yderivada de un cociente de funciones.
4. Derivada de funciones exponenciales
5. Derivadas de las funciones trigonométricas.
6. Derivada de las funciones compuestas (regla de la cadena)
7. Derivada de la funcione inversa.
8. Derivada de funciones logarítmicas.
9. Derivadade las funciones trigonométricas inversas.
10. Derivada de las funciones implícitas.
11. Derivadas sucesivas.
12. Teorema del valor medio y teorema de Rolle.

UNIDAD IV

LA DERIVADA

1. Definición de la derivada.

Sea y = f(x) una función continua, se establece la derivada como la pendiente de la recta tangente a dicha curvaen el punto (x, f(x)).

2. Interpretación geométrica y física de la derivada.

a) Interpretación geométrica.

[pic]

[pic] [pic] [pic]
[pic]

Cuando [pic], [pic] o sea [pic] y la pendiente de la secante se convierte en la pendiente de una tangente a la curva en P.

[pic]

[pic] [pic]
A este límite se le llama la derivada de y = f(x)[pic]

[pic] [pic]

La derivada de una función y = f(x) es simbolizada como:

[pic]

Pasos para derivar una función dada y = f(x) por la evaluación directa del limite.

“REGLA DE LOS CUATRO PASOS”

1. Escribir la definición de límite.
2. Sustituir [pic] y f(x).
3. Simplificar el resultado mediante procesos algebraicos.
4. Evaluar el límite.

Ejemplo4.1: Derivar f(x) = x2
Ejemplo 4.2: Diferenciar [pic]
Ejemplo 4.3: Derivar [pic]

b) Interpretación física.

Supóngase que S es la distancia en función de tiempo, entonces S = f(t).
[pic]
[pic] [pic]

[pic]

Derivada como razón de cambio instantáneo

[pic]

Ejemplo 4.4: La posición de un cuerpo que se mueve en la línea recta está dada por s =f(x) = -16t2 + 80 t - 1, encuentre su ubicación S cuando la velocidad es cero.

4 Derivada de la función constante, derivada del producto de una constante por una función, derivada de la función xn cuando n es un entero positivo, y cuando n es un número real, la derivada de la suma de funciones y derivada de un cociente de funciones.

Reglas de Derivación
1. [pic]
2.[pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
10. [pic]
11. [pic]

Ejemplo 4.5: Encuentre las derivadas de: a) [pic] b) [pic]
Ejemplo 4.6: Diferenciar [pic]
Ejemplo 4.7: Derivar [pic]
Ejemplo 4.8: Derivar [pic]
Ejemplo 4.9: Derivar [pic]
Ejemplo 4.10: Derivar [pic]
Ejemplo 4.11:Derivar [pic]

4. Derivada de funciones exponenciales.

Sea la función y = ax, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función ex es

Reglas para la derivación de funciones exponenciales:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Ejemplo 4.12: Derivar [pic]
Ejemplo4.13: Derivar [pic]
Ejemplo 4.14: Derivar [pic]
Ejemplo 4.15: Derivar [pic]
Ejemplo 4.16: Derivar [pic]

4.5 Derivadas de funciones trigonométricas.

❖ Identidades trigonométricas básicas

|I.- INVERSAS |II.-POR COCIENTE |III.- PITAGORICAS |
|1.-[pic] |4.- [pic]...
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