Estructuras discretas ejercicios resueltos

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Escuela Académica Profesional de Ingeniería de Sistemas
Estructuras Discretas

Pregunta 1

a) (1Pts) El siguiente argumento

Es una tautología, contradicción o contingencia? Justifique su respuesta.
Es una contingencia.

b) (1Pts) Si es verdadera, hallar el valor de verdad de la proposición
(p↔r) ^ ~(~p v ~q) = V, entonces
1) (p↔r) ^ (p v q) = V
2) (p↔r) = V
3)(p v q) = V
Reemplazando en la proposición
4) (p→q) ↔ (p↔r) de (2)
V ↔ V Ambos tendrán que ser verdaderos porque se cumple (2) en esta bicondicional.
Por tanto el resultado es V.

c) (1Pts) Usando las leyes lógicas o reglas de inferencia, justifique cada uno de los pasos que demuestran la validez del siguiente argumento.

Paso | Descripción | Ley Lógica |
1 | ~(r Λ s) | P1 |
2 | q → s | P2 |
3 | ~ r V ~s | Ley de Morgan en 1 |
4 | r → ~s | Implicación de 3 |
5 | ~ s → ~q | Contrapositiva de 2 |
6 | r → ~ q | Transitividad de 4 y 5 |

Pregunta 2

(3Pts) Escriba la inferencia lógica correspondiente y verifique la validez o no del argumento usando cualquiera de las técnicas estudiadas en tutoría.

a) Juan partirá para Japón, si María sequeda en Venecia. Rosa viajará a Luxemburgo o Juan no partirá para Japón. O María no se queda en Venecia o Rosa no viajará a Luxemburgo. Por consiguiente, María no se queda en Venecia.

b) Cuando viajo me mareo. Siempre que me mareo, me entra un hambre atroz. Así pues, siempre que me entra un hambre atroz, viajo.

Pregunta 3

a) (1Pts) Demuestre por inducción matemática lo siguiente:Justifique cada paso de la demostración. |
a.1 Base de la Inducción 3-3 + 20 = 1/27 + 1 = 28/27 = 7 x 4/27 3-1 + 21 = 1/3 + 2 = 7/3 = 7 x 1/3 31 + 22 = 3 + 4 = 7 = 7x1 (Base n=-1 para Números naturales) 33 + 23 = 27 + 8 = 35 = 7x5 35 + 24 = 243 + 16 = 259 = 7x37 a.2 Suponemos que n=h, P(h)=Verdadero, demostraremos que para n=h+1, P(h+1) es Verdadero… |b) (1Pts) Demuestre por inducción matemática lo siguiente: Justifique cada paso de la demostración. |
b.1 Base de Inducción.
Para n=0, daría Divx0 = 0Para n=1, daría ½ = ½ , Entonces la base seria n=1.b.2 Suponemos que n=h, P(h)=Verdadero, demostraremos que para n=h+1, P(h+1) es Verdadero11x2+ 12x3+ 13x4+…+ 1nn+1+ 1n+1n+2= nn+1+ 1n+1n+2= nn+1n+2+(n+1)(n+1)2(n+2) =(n+1)(n2+2n+1)n+12.n+2= (n+1)2n+1.(n+2)= (n+1)(n+2)= n+1n+1+1Se Verifica que cumple Para todo n>=1 |

Pregunta 4

a) (1Pts) Sobre N (Naturales) se define la siguiente relación:

Podemos afirmar que la relación binaria R es de equivalencia?. Justifique.
*Concepto. Es equivalente si es reflexiva, simétrica y transitiva.
2R2 2.2 = 4; 4R4 4.4 = 16 ....es reflexiva
2R4 2.4 = 8, 4R2 4.2 = 8 ....Sesimétrica
2R2 y 2R4 2R4 (Se cumple porque siguen siendo numeros pares) ... Es Transitiva.

∴ Por lo tanto la relación binaria R es de equivalencia.

b) (1Pts) En el conjunto:
Se define la siguiente relación:

Se pide:
i) Escriba todos los elementos de R.
R = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5),(3,6)
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)
6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }
ii) Es R Reflexiva?

Si es reflexiva, porque existe lós pares (1,1) , (2,2) , (3,3), (4,4) , (5,5), (6,6).

iii) Es R Transitiva?
Si porque para (1,1) y (1,2), existe (1,2)
...
Para (1,3) y (2,3), existe (1,3)
...
SI ES TRANSITIVA, Para aRb y bRC,entonces aRC

Pregunta 5

a) (1Pts) Con 6 hombres y 4 mujeres se va a formar una comisión de 5 personas.
i) ¿De cuántas maneras se puede formar tal que solamente 2 de sus miembros sean hombres?
C26.C34= 6!2!6-2!.4!3!4-3!= 4!.5.62.4!.3!.43!=15.4=60
∴ Se podrán formar 60 comisiones.

ii) ¿De cuántas maneras se puede formar tal que por lo menos 2 de sus miembros sean hombres?...
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