Estructuras

2.
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS
POLARES
INDICE
2.1. Curvas planas y ecuaciones paramétricas…………………………………………..…….2
2.2. Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación grafica……3
2.3. Derivada de una función dada paramétricamente…………………………………….5
2.4. Longitud de arco en forma paramétrica…………………………………………………….6
2.5. Coordenadaspolares………………………………………………………………………………..7
2.6. Gráficas de ecuaciones polares…………………………………………………………………8

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2.
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS
POLARES
2.1. Curvas planas y ecuaciones paramétricas.
Una curva geométricamente hablando diremos que intuitivamente, es el
conjunto de puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por un
punto que se mueve; si se usa el término curva por oposición a recta o línea
poligonal,habría que excluir de esta noción los casos de, aquellas líneas que
cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, es decir, sin
formar ángulos. Esto las distingue de las líneas rectas y de las quebradas.
Estarían fuera de esta noción los casos de movimiento rectilíneo. Sin
embargo, utilizando la definición matemática, una línea recta es un caso
particular de curva.
Curva: Es el casolímite de poligonal en que los saltos discretos de los
segmentos son infinitesimales. También en este caso se dice curva plana,
también llamada de simple curvatura por el ángulo de contingencia, si tiene
todos sus puntos en un mismo plano; y curva alabeada, llamada de doble
curvatura por los dos ángulos el de contingencia y el de torsión, en caso que
todos sus puntos no estén en un mismoplano.
A continuación se van a definir las principales características de las curvas
planas.
La recta secante de una curva es la que une dos puntos de la curva
separados una distancia finita. El orden de una curva es el número máximo de
puntos de corte con una secante. En la figura se muestra una curva de 4°
orden.

La recta tangente a una curva en un punto es el límite a que tiende la secantecuando los dos puntos de corte tienden a confundirse.
De esta forma la tangente puede ser de primera especie cuando el punto de
tangencia está quieto y el otro se aproxima al primero, de segunda especie
cuando los dos puntos se aproximan simultáneamente hacia el de tangencia.

La clase de una curva es el número máximo de tangentes que se pueden
trazar desde un punto exterior. Por ejemplo,la circunferencia es una curva de
clase dos.
La recta normal a una curva es la perpendicular a la tangente por el punto de
tangencia. Según esta definición por un punto de la curva existirán infinitas
normales. Para las curvas planas la más importante de estas normales es la
coplanaria con la curva, que es la normal principal.
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ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Reciben este nombre aquellasecuaciones en que las variables x y y, cada
una separadamente, están expresadas en función de la misma tercera
variable. Según esto, designando por la letra z la tercera variable,
comúnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se representan
en la siguiente forma general:
x = F (z)
y = F (z)
Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan
una sola curvaperfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos.
Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas.
En forma directa se le asignan valores ordenados al parámetro con lo cual las
ecuaciones paramétricas determinan los valores correspondientes a x, y, que
representan las coordenadas de un punto de la curva. Uniendo los puntos así
determinados resulta una curva, que es larepresentación gráfica de las
ecuaciones paramétricas.
2.2. Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación grafica.
CIRCUNFERENCIA
Sea la circunferencia de centro en O y radio a. sean además M(x,y) un punto
de la curva y Θ=ángXOM.

Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia:
�� = �� cos ��
�� = �� sin ��
CICLOIDE
Es la...