Estructuras

Apuntes de
Estructuras Algebraicas
por Enrique Arrondo(*)

Versi´
on del 17 de Mayo de 2011

1. Teor´ıa b´
asica de grupos, anillos y cuerpos
2. Divisibilidad y factorizaci´
on en anillos
3. Ra´ıces de polinomios
4. Extensiones de cuerpos
5. El grupo de Galois
6. Teoremas de Sylow
7. Resolubilidad de ecuaciones y de grupos
8. Constructibilidad con regla y comp´
as
9. Extensiones transcendentes´
(*) Departamento de Algebra,
Facultad de Ciencias Matem´aticas, Universidad Complutense de Madrid, 28040 Madrid, arrondo@mat.ucm.es
1

1. Teor´ıa b´
asica de grupos, anillos y cuerpos
Definici´
on. Un grupo es un conjunto G con una operaci´on interna · que verifica las siguientes propiedades:
(i) g · (h · k) = (g · h) · k para cualesquiera a, b, c ∈ G (propiedad asociativa).
(ii) Existe 1 ∈ G(elemento neutro) tal que 1 · g = g · 1 = g para cualquier g ∈ G.
(iii) Para cada g ∈ G existe g −1 ∈ G (elemento inverso) tal que g · g −1 = g −1 · g = 1.
Si adem´
as
(iv) gh = hg para cualesquiera g, h ∈ G (propiedad conmutativa) entonces se dice que G
es un grupo abeliano.
Normalmente, se omite el signo · si ello no da lugar a confusi´on. Es tambi´en habitual
denotar a la operaci´
on con + cuandoel grupo es abeliano (como veremos, por ejemplo, en
los anillos), en cuyo caso el elemento neutro se denota con 0 y el inverso de g con −g. El
cardinal de un grupo se llama orden del grupo y se denota por |G|.
Ejemplo 1.1. El ejemplo de grupo que m´as usaremos es el del grupo de permutaciones de n elementos, denotado por Sn , y que consiste en el conjunto de biyecciones
σ : {1, 2, . . . , n} → {1,2, . . . , n} con la composici´on (indicaremos simplemente στ para designar a la composici´
on σ ◦ τ ). El orden de Sn es n!. Llamaremos r-ciclo a la permutaci´
on,
que denotaremos por (i1 i2 . . . ir ) (con i1 , . . . , ir elementos distintos de {1, 2, . . . , n}) que
manda i1 a i2 , i2 a i3 ,..., ir−1 a ir , ir a i1 y deja fijos todos los dem´as elementos de
{1, 2, . . . , n}. Un 2-ciclo (i j)se llama transposici´
on (ya que lo u
´nico que hace es intercambiar entre s´ı los n´
umeros i y j). Dos ciclos (i1 i2 . . . ir ), (j1 j2 . . . js ) conmutan si y
s´
olo si {i1 , i2 , . . . , ir } ∩ {j1 , j2 , . . . , js } = ∅ (en cuyo caso se dice que son ciclos disjuntos).
Toda permutaci´
on se puede poner de forma u
´nica (salvo el orden) como producto de ciclos
disjuntos dos a dos.
Definici´on. Un subgrupo de un grupo G es un subconjunto H ⊂ G tal que, para cualesquiera g, h ∈ H se tiene que gh−1 ∈ H; en otras palabras, H tiene estructura de grupo
con la misma operaci´
on que G. Para indicar que un subconjunto H ⊂ G es un subgrupo,
escribiremos normalmente H < G.
Definici´
on. Dado un subconjunto cualquiera S ⊂ G, se llama subgrupo generado por el
subconjunto S al m´ınimo subgrupo deG que contiene a los elementos de S, y lo denotaremos
normalmente por < S >. Si G =< g >, diremos que G es un grupo c´ıclico. En este caso,
todos los elementos de G son de la forma g n , donde

g .n)
.. g
si n ≥ 0

n
g =
 −1 −n) −1
(g ) . . . (g ) si n ≤ 0
2

Ejercicio 1.2. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos genera el grupo Sn :
(i) Las transposiciones.
(ii) Las transposici´
on(1 2) y el n-ciclo (1 2 . . . n).
(iii) Cualquier transposici´
on y cualquier n-ciclo, si n es un n´
umero primo.
Dado un subgrupo H < G, se definen las relaciones de equivalencia:
g ∼H g ⇔ g −1 g ∈ H ⇔ gH = g H
g H ∼ g ⇔ gg −1 ∈ H ⇔ Hg = Hg
(donde gH = {gh | h ∈ H} y Hg = {hg | h ∈ H}). Los conjuntos de clases de equivalencia est´an en biyecci´
on, y su cardinal com´
un se llama ´ındice de H enG, y se denota por
[G : H].
Teorema de Lagrange. Si H es un subgrupo de un grupo finito, entonces se tiene la
igualdad |G| = [G : H]|H|. En particular, el orden de un subgrupo divide siempre al orden
del grupo.
Los cocientes G/ ∼H y G/H ∼ se pueden ver respectivamente como el conjunto de
subconjuntos de la forma gH y el conjunto de subconjuntos de la forma Hg. Ninguno de
estos cocientes tiene...