estudi d'una funcio matematica

Y = x^3/(x^2-1)












Domini: El domini són tots els nombres reals excepte el 1 i el -1, ja que en aquests punts hi ha dues asímptotes verticals.


Recorregut: Tots els númerosreals, ja que no hi ha cap asímptota horitzontal.

Punts de tall: El punt de tall és el (0,0). Hem trobat el punt de tall igualant la funció a 0 i ens ha donat que el punt de tall és (0,0), que ésl'únic punt de tall que té aquesta funció.

x^3/(x^2-1) = 0
x=0
y=0

Simetria: És simètric senar. Hem trobat simetria quan hem substituït una sèrie de nombres i el seu negatiu a la funció, aixòens ha fet veure que aquesta funció és simètrica senar, ja que, els resultats eren inversos.

Asímptotes verticals: Hem trobat dues asímptotes verticals en els punts x=1 i x=-1 ja que en substituiraquest valors a la funció el resultat del denominador és 0, i el del numerador es 1, cosa que fa que el resultat sigui infinit, per tant hi ha una asímptota.

Asímptotes obliqües: Hem observat queamb valors molt grans de x, podríem dir que y=x, tot i que, al haver-hi el número enter a sota, y sempre tindrà un valor una mica més baix que x, però en augmentar el valor de x aquesta diferènciapassa a ser negligible i per això podem afirmar que y=x, però aquesta igualtat no és del tot certa i és aquest factor el que ens condiciona una asímptota obliqua en aquesta funció.

y = x^3/(x^2-1)quan x té un valor molt gran
y = x^3/x^2
y = x

Màxims i mínims: Derivant la funció Y = x^3/(x^2-1), ens hem adonat de que la gràfica que surt a partir de aquesta funció té un màxim i un mínim. Hohem deduït igualant la derivada de la funció a 0, i hem vist que el màxim és (-3^1/2 , -7’09) i el mínim es troba en el punt (3^1/2 , 7’09).

y = x^3/(x^2-1)
y’ = 3x^2 · (x^2 – 1) – x^3 · 2x /(x^2 – 1)^2
y’ = 3x^4 – 3x^2 – 2x^4/(x^2-1)^2
y’ = x^4 – 3x^2 = 0
x^4 – 3x^2 = x^2(x^2 – 3)= 0
x^3=3
x= -3^1/2
x= 3^1/2

Punt d’inflexió: A partir de la segona derivada de la funció, hem deduït...