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Demostración del Teorema de Pitágoras 1
Supongamos que tenemos un cuadrado de lado r y en cada uno de sus lados colocamos un triángulo rectángulo de catetos x e y. Como en esta situación lahipotenusa de cada uno de los triángulos es r queremos probar que x2 + y2 = r2. La figura que hemos obtenido es la siguiente:

Es claro que la parte exterior en conjunto es un cuadrado de lado x + y. Portanto el área de ese cuadrado es (x + y)2 (recordemos que el área de un cuadrado se calcula elevando al cuadrado lo que mide su lado). Por la misma razón el área del cuadrado que queda dentro es r2. Yel área de cada uno de los triángulos es xy/2 (recordemos que el área de un triángulo es base por altura partido por 2). Como el cuadrado exterior está formado por el cuadrado interior y los cuatrotriángulos se tiene que el área de aquél es la suma de las áreas de éstos, es decir:
(x + y)2 = r2 + 4• xy/2 (1)
Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad:
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Sustituímosen (1):
x2 + 2xy + y2 = r2 + 2xy
Y ahora restamos a ambos lados de la igualdad 2xy, obteniedo así el resultado buscado:
x2 + y2 = r2

Demostración del teorema de Pitágoras 2
Veamos estasfiguras:

- Tenemos que el area del cuadrado grande es (a + b)²
- Además el area del cuadrado chico es c²
- Y el area de cada triangulo formado es de ab /2 ( por lo que el area de los cuatrotriángulos es de 2ab)
Y asi nos quedará :
(a + b) ² = c² + 2ab
Luego:
a² + 2ab + b² = c² + 2ab
a² + b² = c²

Demostración del sistema de Pitágoras 3
La relación entre los catetos y la hipotenusa de untriángulo rectángulo, aparece ya en los Elementos de Euclides.
Elementos de Euclides. Proposición I.47.
En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual alos cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.
Para demostrarlo, Euclides construye la figura que se representa a la derecha.
La prueba que da Euclides consiste en demostrar la...
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