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MÉTODO DE NEWTON
En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
HISTORIA
El método de Newton fuedescrito por Isaac Newton en De analysi per aequationes número terminorum infinitas (escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671, traducido y publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson). Sin embargo, su descripción difiere en forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba: Newtonaplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas xn, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo.
Isaac Newton probablemente derivó su método de forma similar aunque menos precisa del método de François Viète. La esenciadel método de Viète puede encontrarse en el trabajo del matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi.
El método de Newton-Raphson es llamado así por la razón de que el matemático inglés Joseph Raphson (contemporáneo de Newton) se hizo miembro de la Royal Society en 1691 por su libro "Aequationum Universalis", análisis que publicó en 1690 y el cual contenía este método para aproximar raíces. Mientrasque Newton en su libro Método de las fluxiones describe el mismo método escrito en 1671, no fue publicado hasta 1736, lo que significa que Raphson había publicado este resultado casi 50 años antes, aunque no fue tan popular como los trabajos de Newton y se le reconoció posteriormente.
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. Adiferencia de lo otros métodos, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.
Supongamos que tenemos la aproximación    a la raíz    de  ,



Trazamos la recta tangente a la curva en el punto  ; ésta cruza al eje    en un punto   que será nuestra siguiente aproximación a la raíz  .
Para calcular el punto  , calculamos primero laecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
 -
Hacemos  :
Y despejamos  :
Que es la fómula iterativa de Newton-Raphson  para calcular la siguiente aproximación:
 -,   si-
Note que el método de Newton-Raphson  no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nosaproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.
También observe que en el caso de que  , el método no se puede aplicar. De hecho, vemosgeométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje   en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso   mismo es una raíz de  !
Ejemplo 1
Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de , comenzando con    y hasta que  .
Solución
En este caso, tenemos que
De aquí tenemos que:
Comenzamos con  y obtenemos:
En este caso, elerror aproximado es,
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raíz
Error aprox.
1
 
1.268941421
21.19%
1.309108403
3.06%
1.309799389
0.052%
De lo cual concluimos que  , la cual es correcta en todos sus dígitos!
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen...