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PROBLEMAS

MODELADO MATEMÁTICO PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS REALIMENTADOS ANÁLISIS TEMPORAL ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO ESTABILIDAD ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL

189

MODELADO MATEMÁTICO DE LA PLANTA
____________________________________________________________

_________________________ 1.- Calcular la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones
F ( s )= s s 2 +2 s +2(

1

)
s +3 )

Solución: Solución: Solución: Solución: Solución: Solución:

1 1 1 f ( t )= − e − t cos t − e− t sent 2 2 2 f (t ) = − 25 10 5 −t 5 −3t + t + e + e 9 3 2 18

F ( s )=

5 ( s +2 ) s2

( (

s +1)

(

F ( s )= F ( s )= F ( s )=

s +3 )

(

s +1)

(

s +2 )

f ( t )=2 e− t −e−2 t f ( t )= 2 e− t cos 2 t +5 e− t sen 2 t t t − 3 −2 3 3 e sen t −e 2 cos t3 2 2

2 s +12 s 2 + 2 s +5 s +1 s ( s 2 + s +1) s 2 + 2 s +3 ( s +1)3

f ( t )=1+

F ( s )=

f ( t )=e− t +t 2e− t

____________________________________________________________

_________________________ 2.- Resolver mediante Laplace las siguientes ecuaciones diferenciales lineales
d2 d x (t ) + 3 x ( t ) + 6 x ( t ) = 0 con x ( 0 ) = 0 ; x′ ( 0 ) = 3 dt dt 2 d2 d x ( t ) +3 x ( t)+ 2 x ( t )=0 conx ( 0 )= a ; x′ ( 0 ) =b dt dt 2 d2 d x ( t ) + 2 x ( t )+5 x ( t )=3 con x ( 0 )=0 ; x′ ( 0 )=0 dt dt 2 d 2 y ( t ) dy ( t ) dr ( t ) +4 + y ( t )= +r (t ) dt dt dt 2

Solución:

x ( t ) =3

3 4 − 2t 15 e sen t 15 4

Solución:

x ( t ) =( 2 a +b ) e − t −( a +b ) e−2 t

Solución:

3 x ( t ) = e− t sen 2 t 2

para

r ( t ) = sen t

y condiciones iniciales nulasSolución:

y ( t )=0 , 25 ( sen t − cos t )+ 0 ,197 e −0 , 268 t +0 , 053 e−3, 73t

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_________________________ 3.- Calcular la transformada de Laplace de las funciones representadas

Solución:
1 1 − sT 1 −2 sT X ( s )= − e + e s s 2T s 2T

a a + b − sT b −2 sT F (s)= − e + e s s s

F ( s )=

− sT a a a e 1 a e− sT −( +) + s 2T1 T −T1 T1 s 2 T −T1 s 2

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__________

190

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__________
4.- Calcule la respuesta de la posición del carro en función del tiempo, x(t), al aplicarle una entrada impulsional δ(t), partiendo inicialmente del reposo.
x(t) δ(t) k m

Solución:

x ( t )=

1k sen t m mk

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_________________________ 5.- Supongamos el sistema de la figura, donde un disco de inercia J gira en un medio viscoso de coeficiente b. Al aplicar un par T(t) al sistema, se obtiene un desplazamiento θ(t) del eje. Calcule la función de transferencia θ(s)/T(s).
T(t) ω(t) b
G Solución: ( s ) =

J

θ (s) 1 = T ( s) s ( sJ + b )

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_________________________ 6.- Uno de los componentes de una máquina herramienta tiene un modelo como el de la figura en el cual, la fuerza aplicada en el desempeño de su trabajo se aplica a m2, la cual desliza a lo largo de una superficie lubricada que permanece fija mediante un resorte. Si la fuerza a que estásometida m2 es de la forma f(t)=Fcosωt, calcule la ecuación del movimiento en el dominio de Laplace de la masa m2.

Solución:

X 2 (s) =

m1s 2 + bs + k s ⋅F 2 m1m2 s 4 + s 3 ( m1b + m2b ) + s 2 km1 + sbk s +ω 2

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_________________________ 7.- El circuito de la figura está diseñado para dejar pasar las bajas frecuencias e impedirel paso de las altas. Calcule la función de transferencia V0(s)/Vi(s) y la salida para entrada escalón unitario.
R R V0 Vi R C
V0 ( s ) 13 RC = Vi ( s ) s + 2 3 RC −2 t 1 3 RC ) v0 ( t )= (1−e 2

Solución:

;

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_________________________ 8.- En el sistema eléctrico de la figura, calcule la función de transferencia VC2(s)/V(s)...
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