Estudiante
Páginas: 90 (22403 palabras)
Publicado: 28 de junio de 2010
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CAPÍTULO
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Fuerzas distribuidas: centroides y centros de gravedad
En la fotografía se muestra la construcción de un tramo del viaducto Skyway, el cual cruza la bahía que se encuentra entre San Francisco y Oakland. En este capítulo se introducirá el concepto del centroide de un área; en cursos posteriores se establecerá la relaciónexistente entre la ubicación del centroide y el comportamiento de la carretera tendida sobre el viaducto.
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5.1. INTRODUCCIÓN FUERZAS DISTRIBUIDAS: CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Introducción Áreas y líneas Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional Centroides de áreas y líneas Primeros momentos deáreas y líneas Placas y alambres compuestos Determinación de centroides por integración Teoremas de Pappus-Guldinus Cargas distribuidas en vigas Fuerzas sobre superficies sumergidas Volúmenes Centro de gravedad de un cuerpo tridimensional. Centroide de un volumen Cuerpos compuestos Determinación de centroides de volúmenes por integración
5.10
5.11 5.12
Hasta ahora se ha supuesto que laatracción ejercida por la Tierra sobre un cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza, denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo, debía aplicarse en el centro de gravedad del cuerpo (sección 3.2). De hecho, la Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que constituyen al cuerpo. En este sentido, la acción de la Tierra sobre un cuerpo rígido deberepresentarse por un gran número de pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. Sin embargo, en este capítulo se aprenderá que la totalidad de dichas fuerzas pequeñas puede ser reemplazada por una sola fuerza equivalente W. También se aprenderá cómo determinar el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicación de la resultante W, para cuerpos de varias formas. En la primera parte del capítulose describen cuerpos bidimensionales como placas planas y alambres que están contenidos en un plano dado. Se introducen dos conceptos que están muy relacionados con la determinación del centro de gravedad de una placa o de un alambre: el concepto de centroide de un área o de una línea y el concepto del primer momento de un área o de una línea con respecto a un eje dado. También se aprenderá queel cálculo del área de una superficie de revolución o del volumen de un cuerpo de revolución está directamente relacionado con la determinación del centroide de la línea o del área utilizados para generar dicha superficie o cuerpo de revolución (teoremas de Pappus-Guldinus). Además, como se muestra en las secciones 5.8 y 5.9, la determinación del centroide de un área simplifica el análisis de vigassujetas a cargas distribuidas y el cálculo de las fuerzas ejercidas sobre superficies rectangulares sumergidas, como compuertas hidráulicas y porciones de presas. Al final del capítulo se aprenderá cómo determinar tanto el centro de gravedad de cuerpos tridimensionales como el centroide de un volumen y los primeros momentos de dicho volumen con respecto a los planos coordenados.
ÁREAS Y LÍNEAS5.2. CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL
Para iniciar, considere una placa plana horizontal (figura 5.1). La placa puede dividirse en n elementos pequeños. Las coordenadas del priz Fotografía 5.1 El balance preciso de los componentes de un móvil requiere de una comprensión de los centros de gravedad y centroides, que son los tópicos principales de este capítulo. O y W z ∆W y
⎯x⎯y
=
G O x ΣM y : ⎯ x W = Σ x ∆W
x y
x
ΣM x : ⎯ y W = Σ y ∆W Figura 5.1 Centro de gravedad de una placa.
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mer elemento se representan con x1 y y1, las del segundo elemento se representan con x2 y y2, etcétera. Las fuerzas ejercidas por la Tierra sobre los elementos de la placa serán representadas, respectivamente, con...
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Fuerzas distribuidas: centroides y centros de gravedad
En la fotografía se muestra la construcción de un tramo del viaducto Skyway, el cual cruza la bahía que se encuentra entre San Francisco y Oakland. En este capítulo se introducirá el concepto del centroide de un área; en cursos posteriores se establecerá la relaciónexistente entre la ubicación del centroide y el comportamiento de la carretera tendida sobre el viaducto.
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5.1. INTRODUCCIÓN FUERZAS DISTRIBUIDAS: CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Introducción Áreas y líneas Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional Centroides de áreas y líneas Primeros momentos deáreas y líneas Placas y alambres compuestos Determinación de centroides por integración Teoremas de Pappus-Guldinus Cargas distribuidas en vigas Fuerzas sobre superficies sumergidas Volúmenes Centro de gravedad de un cuerpo tridimensional. Centroide de un volumen Cuerpos compuestos Determinación de centroides de volúmenes por integración
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5.11 5.12
Hasta ahora se ha supuesto que laatracción ejercida por la Tierra sobre un cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza, denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo, debía aplicarse en el centro de gravedad del cuerpo (sección 3.2). De hecho, la Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que constituyen al cuerpo. En este sentido, la acción de la Tierra sobre un cuerpo rígido deberepresentarse por un gran número de pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. Sin embargo, en este capítulo se aprenderá que la totalidad de dichas fuerzas pequeñas puede ser reemplazada por una sola fuerza equivalente W. También se aprenderá cómo determinar el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicación de la resultante W, para cuerpos de varias formas. En la primera parte del capítulose describen cuerpos bidimensionales como placas planas y alambres que están contenidos en un plano dado. Se introducen dos conceptos que están muy relacionados con la determinación del centro de gravedad de una placa o de un alambre: el concepto de centroide de un área o de una línea y el concepto del primer momento de un área o de una línea con respecto a un eje dado. También se aprenderá queel cálculo del área de una superficie de revolución o del volumen de un cuerpo de revolución está directamente relacionado con la determinación del centroide de la línea o del área utilizados para generar dicha superficie o cuerpo de revolución (teoremas de Pappus-Guldinus). Además, como se muestra en las secciones 5.8 y 5.9, la determinación del centroide de un área simplifica el análisis de vigassujetas a cargas distribuidas y el cálculo de las fuerzas ejercidas sobre superficies rectangulares sumergidas, como compuertas hidráulicas y porciones de presas. Al final del capítulo se aprenderá cómo determinar tanto el centro de gravedad de cuerpos tridimensionales como el centroide de un volumen y los primeros momentos de dicho volumen con respecto a los planos coordenados.
ÁREAS Y LÍNEAS5.2. CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL
Para iniciar, considere una placa plana horizontal (figura 5.1). La placa puede dividirse en n elementos pequeños. Las coordenadas del priz Fotografía 5.1 El balance preciso de los componentes de un móvil requiere de una comprensión de los centros de gravedad y centroides, que son los tópicos principales de este capítulo. O y W z ∆W y
⎯x⎯y
=
G O x ΣM y : ⎯ x W = Σ x ∆W
x y
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ΣM x : ⎯ y W = Σ y ∆W Figura 5.1 Centro de gravedad de una placa.
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mer elemento se representan con x1 y y1, las del segundo elemento se representan con x2 y y2, etcétera. Las fuerzas ejercidas por la Tierra sobre los elementos de la placa serán representadas, respectivamente, con...
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