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Lógica

Nociones de Lógica Formal Contenidos: proposiciones simples, operaciones con proposiciones, leyes o tautologías, cuantificadores. Objetivo: Familiarizarse con los símbolos y conectivos En toda definición, propiedad o demostración matemática es preciso que se conjuguen la claridad, la economía y sobre todo la eliminación de las ambigüedades del lenguaje ordinario, lo que se logracon la introducción de símbolos y conectivos. Estudiaremos: el concepto de proposiciones simples, operaciones con proposiciones que nos permitirán obtener proposiciones generales que se utilizarán a través del desarrollo de toda la asignatura. Proposiciones Simples Definición: Las proposiciones son oraciones declarativas a las cuales puede asociarse sólo uno de los siguientes valores: verdadera (V)o falsa (F). Ejemplos - Julio Bocca es escritor (F) - 8 es número primo (F) - Existen infinitos puntos (V) - Julio es músico (VoF) tendríamos que conocer a Julio) Estas son oraciones declarativas y por lo tanto: son proposiciones Contra ejemplos - ¿qué hora es? (interrogativa) - ¡ Salga de aquí (imperativa) - Ojalá llueva mañana (desiderativa) - ¡ Qué barbaridad (exclamativa)

no sonproposiciones

 Observación: Sean las siguientes oraciones declarativas:
Romeo ama a Julieta. - Julieta es amada por Romeo. que si bien son diferentes desde el punto de vista gramatical, tienen el mismo significado, razón por lo cual las consideramos como la misma proposición. Así como en álgebra se usan letras para representar números, y de este modo escribir expresiones generales tales como x + y = y +x (cuyos casos particulares: 2 + 1 = 1 + 2 ; 3 + 5 = 5 + 3 ..... etc.) también en lógica se usan letras (p, q, r, s, ... ) para representar proposiciones. De modo que tendrá sentido escribir: p = el conejo salta. Si p es una proposición y queremos expresar que su valor de verdad es V o F escribimos: V (p) = V o V (p) = F respectivamente. Conviene destacar que no compete a la lógica establecer elvalor de verdad de las proposiciones.

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Si convenimos en considerar al conjunto E de todas las posibles proposiciones del lenguaje como conjunto universal y designarlo como el universo del discurso, cada proposición p pertenecerá a E, o sea p E.

Operaciones con proposiciones Así como en álgebra se estudian las operaciones entre números, en lógica se estudian las operacionesentre proposiciones. A partir de proposiciones simples es posible generar proposiciones compuestas mediante

símbolos que llamaremos conectivos lógicos. Cada uno de ellos permite definir una operación interna y cerrada en E, esto significa que la operación entre dos proposiciones es otra proposición (llamada proposición compuesta). Las operaciones que estudiaremos son: negación, conjunción,disyunción, diferencia simétrica, implicación y doble implicación, unitaria la primera y binarias las restantes. Conectivo Operación Asociada Negación Conjunción Disyunción Diferencia Simétrica Implicación Doble implicación Significado no p; no es cierto que p p y q p o q (en sentido incluyente) p o q (en sentido excluyente) p implica q ; si p entonces q p si y sólo si q Negación Definición: Negación dela proposición p es la proposición no p, notada ~ p o también -p cuya tabla de valores de verdad es: p V F -p F v Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra que es su negación.

Ejemplo : Sea la proposición p = todo hombre es honesto ~ p : no todo hombre es honesto ~ p : no es cierto que todo hombre es honesto ~ p : existen hombres deshonestos si : V( p) = F V( - p ) = V

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Conjunción Definición: Conjunción de las proposiciones p y q es la proposición p Cuya tabla de valores de verdad es: p V V F F V (p q V F V F p V F F F V (q) = V q q (p y q).

q) = V solo cuando V (p) = V

Ejemplo: 1) p = Juan es alto ; q = Luis es alto ; p q = Juan y Luis son altos. V (p q) V (p) = V y V(q) =V 2) p = Hoy es lunes ; q = mañana es sábado...
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