Estudiante

Universidad de la Frontera
Departamento de Matem´tica y Estad´ a ıstica
Cl´ ınica de Matem´tica a

Problemas de Optimizaci´n o

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J. Labrin - G.Riquelme

1. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 50cm3 . Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material que va a ser usado.

V = x2 y & = 50 Soluci´n o 50 = x2 y Luegodiremos que el ´rea de la caja sin tapa ser´: a a A = x2 + 4xy

´ Esta es la cantidad de material que deseamos que sea m´ ınima; vemos que es una funci´n de dos variables. o o Despejamos y de la restricci´n dada: 50 y= 2 x Sustituimos en el ´rea y obtenemos uan funci´n de una sola variable: a o A(x) = x2 + 4x Derivando: A′ (x) = 2x − 200x−2 = 2x − Calculamos Puntos cr´ ıticos: A′ (x) = 0 ⇒ 2x3 − 200= 0 ⇒ x3 = 100 ⇒ x = √ 3 100cm 2x3 − 200 ′′ 200 = A (x) x2 x2 =2+ 400 >0 x3 50 x2 = x2 + 200 x = x2 + 200x−1

Es un m´ ınimo absoluto, pues A′′ (x) > 0 para cualquier x¿0. El valor correspondiente de la otra variable es: 1√ 1 50 3 100 = x y= 2 = 2 2 100 3

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2. Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, m´rgenes superior e inferior de 2 cm de altura y a m´rgenes laterales de 1cm de anchura. Obtener las dimensiones que minimizan la superficie del papel. a

Soluci´n o

Sea x el ancho de la hoja e y el alto de ella, de esta manera su area es A = xy. Como los m´rgenes a superior e inferior suman 4 cm en total y los m´rgenes laterales suman 2 cm. tenemos que el ´rea del a a texto escrito es (x − 2)(y − 4) = 18. de esta ecuacion podemos despejar la variable y obteniendoque 4x + 10 4x + 10 . Luego podemos escribir el ´rea de la hoja como A = x a , dicha ´rea debemos a y = x−2 x−2 minimzar. 4x2 + 10x x−2 (8x + 10)(x − 2) − (4x2 + 10x) A′ = (x − 2)2 2 − 16x + 10x − 20 − 4x2 − 10x 8x A′ = (x − 2)2 4x2 − 16x − 20 A′ = (x − 2)2 A= Vemos que x = 5 y x = −1 anulan la derivada, descartando el -1 como m´ ınimo debemos quedarnos con x = 5. De este modo las dimensionespedidas son x = 5, y = 10. 3. Un campesino tiene 300m de malla para cercar en dos corrales rectangulares iguales y contiguos. Determinar las dimensiones de los corrales para que el ´rea cercada sea m´xima. a a Soluci´n o

Tenemos que el per´ ımetro y el ´rea de los corrales son: a P = 4x + 3y = 300 & A = 2xy Despejamos y quedando: y= 300 − 4x 3

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Entonces el a´rea es: a A(x) = Derivando yobteniendo puntos cr´ ıticos: A′ (x) = 200 − Derivando por segunda vez: A′′ (x) = −

8 2x(300 − 4x) = 200x − x2 3 3

16 75 16 x = 0 ⇒ x = 200 ⇒ x = es el punto cr´ ıtico 3 3 2

16 < 0 entonces se trata de un m´ximo. a 3
75 2 m

Luego el ´rea m´xima ocurre para x = a a

& y = 50m

4. Un terreno tiene la forma de un rect´ngulo con dos semic´ a ırculos en los extremos. Si el per´ ımetro delterreno es de 50m, encontrar las dimensiones del terreno para que tenga el ´rea m´xima. a a Soluci´n o

El ´rea del terreno es a A = 2xy + πx2 El per´ ımetro, P = 50m, est´ dado por P = 2y + 2πx, por lo que: a 2y − 2πx = 50 ⇒ y = 50 − 2πx = 25 − πx 2

Si sustituimos ´ste valor en la f´rmula del ´rea, la tendremos expresada como funci´n de una viariable e o a o x: A(x) = 2x(25 − πx) + πx2 = 50x+ x2 (π − 2π) = 50x − πx2 Obteniendo puntos cr´ ıtico: A′ (x) = 0 ⇒ A′ (x) = 50 − 2πx = 0 ⇔ x = 25 π

a a Como A′′ (x) = −2π < 0, se trata de un m´ximo; adem´s y = 25 − π 25 = 0, es decir, el ´rea m´xima a a π se obtiene cuando el terreno tiene la forma circular.

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5. Una ventana presenta forma rect´ngular coronada por un semic´ a ırculo. Encuentre las dimensiones de la ventana conm´xima, si su per´ a ımetro es de 10m. Soluci´n o

Si A es el ´rea que deseamos que sea m´xima y P es el per´ a a ımetro de la ventana, entonces: 1 A = xy + πr 2 & P = x + 2y + πr 2 Pero r =
x 2

y P = 10: A = xy + π x 2 x & 10 = x + 2y + π 2 2 2 π 2 π A = xy + x & 10 = x 1 + + 2y. 8 2
π 2

Despejamos y de la ecuaci´n 10 = x 1 + o

+ 2y, quedando: 2+π x 4

y =5− Sustituimos en A:

π 2...