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Georg Cantor, el club de Groucho y el tamaño del infinito

Georg Cantor ha pasado a la historia por ser el matemático que, con Richard Dedekind y Gottlob Frege, introdujo la novedosa teoría deconjuntos. Aun así son muchos los que prefieren admirarle por osar adentrarse en las complejas teorías del infinito, siendo el primero en exponer que no existe un único infinito y que unos pueden ser másgrandes que otros.
Esto es algo que a priori puede resultar poco intuitivo, de hecho, es algo que nadie se había atrevido a afrontar hasta que Cantor lo hizo. Pero Cantor contaba con una herramientaque todos sus predecesores no habían tenido: la teoría de conjuntos, de la que se le puede considerar padre. Esta herramienta marcaría la diferencia en su análisis del problema.
Primero, antes deadentrarnos en materia, un concepto muy simple: siempre hay más conjuntos de cosas que cosas. Esto se puede mostrar de forma intuitiva con un conjunto finito de elementos, por ejemplo dos {a, b}. Con doselementos, podemos sacar un total de cuatro conjuntos: {a}, {b}, {ø} y {a, b}. Por lo que vemos inmediatamente que el número de conjuntos que se pueden formar usando estos 2 elementos es mayor que elnúmero de elementos del conjunto. ¿Pero qué sucede si intentamos expandir esto hasta el infinito?
Para explicar esto Cantor recurrió a imaginar un mundo en el que viviera un número infinito depersonas. En ese mundo existirían todos los clubs posibles. El menos exclusivo de todos los clubs sería el club universal: aquel que tendría como miembros a todos los habitantes del mundo. En el otroextremo estaría el club más exclusivo: el club vacío, del que ninguna persona podría ser miembro. Todos estamos de acuerdo en que, si existe un número infinito de personas, el número de clubes tambiéntiene que ser infinito. Pero, ¿cómo de grande es este infinito?
Si queremos demostrar que el infinito número de personas y el infinito número de clubes son el mismo infinito, es decir, que tienen el...