Estudiante

Cap´
ıtulo 1

COMBINATORIA
Previamente al estudio de la probabilidad en s´ conviene dedicar alg´n tiempo al repaso de las
ı,
u
t´cnicas combinatorias.
e
Recordemos que la Combinatoria es la parte de las Matem´ticas que se ocupa de la resoluci´n de
a
o
problemas de elecci´n y disposici´n de los elementos de cierto conjunto, de acuerdo con ciertas reglas.
o
o
Es decir, dentro de laCombinatoria es d´nde tienen sentido preguntas del tipo:
o
1. ¿Cu´ntas quinielas distintas pueden hacerse?.
a
2. ¿Cu´ntas posibles combinaciones pueden darse en la loter´ primitiva?.
a
ıa
3. ¿Qu´ posibilidades hay de que me toquen los cuatro ases en una mano de tute?.
e
4. ¿De cu´ntas formas se pueden sentar 5 personas en 5 asientos de un cine?.
a
Trataremos de dar respuesta a estascuestiones y algunas m´s.
a

1.1.

Conceptos fundamentales

En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir:
1. Poblaci´n: Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Llamaremos tama˜o de la
o
n
poblaci´n al n´mero de elementos de este conjunto.
o
u
2. Muestra: Es un subconjunto de la poblaci´n. Llamaremos tama˜o de la muestra al n´mero de
o
nu
elementos que la componen.
Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos:
a) El orden, es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.
b) La posibilidad de repetici´n o no de los elementos.
o
Ejemplo: Veamos con qu´ tipo de poblaciones y muestras trabajamos en los ejemplos anteriores:
e
1. La poblaci´n en este caso es {1,X,2},que tiene tama˜o 3 (no hay otras posibilidades en una
o
n
quiniela).
Una quiniela (teniendo en cuenta el ”pleno al 15”) es una muestra de tama˜o 15 de la poblaci´n
n
o
anterior (por ejemplo : 1XX121XXX212111).
Es evidente que el orden en esta muestra es importante (no es lo mismo una X en la segunda
casilla que en la quinta) y que se permiten elementos repetidos ( los unos , equis o dosesse
pueden repetir).
Es por tanto una muestra ordenada y con repetici´n.
o
5

CAP´
ITULO 1. COMBINATORIA

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2. En este caso la poblaci´n es mayor, pu´s son todos los n´meros desde el 1 al 49, es decir
o
e
u
{1,2,3. . . .,49}.
Por tanto, y si nos olvidamos del complementario, una apuesta de loter´ primitiva es una muestra
ıa
de tama˜o 6 de dicha poblaci´n (por ejemplo 3, 18, 40,41, 43, 45 ).
n
o
Aqu´ el orden no influye y los elementos no se pueden repetir (no puede salir un n´mero m´s de
ı
u
a
una vez). Son muestras no ordenadas y sin repetici´n.
o
3. La poblaci´n ahora est´ formada por las 40 cartas que componen una baraja espa˜ola, es decir
o
a
n
{1 oros, 2 oros,. . . .,Rey bastos} , y para el caso de 4 jugadores, tenemos una muestra de 10
cartas, queevidentemente no se pueden repetir y adem´s el orden no importa.
a
Muestras no ordenadas y sin repetici´n.
o
4. La poblaci´n son las 5 personas a elegir, y la muestra tiene el mismo tama˜o, 5, pues elegimos a
o
n
las 5 personas. Eso s´ ahora el orden s que es importante y adem´s las personas no se pueden
ı,
ı
a
repetir.
Son muestras ordenadas y sin repetici´n.
o
5. Un ejemplo de muestrano ordenada y con repetici´n podr´ ser una mano de cartas pero teniendo
o
ıa
en cuenta que jugamos con 2 barajas id´nticas mezcladas (80 cartas).
e
Si se reparten 10 a cada uno de 4 jugadores, tenemos una muestra de tama˜o 10 en la que
n
es evidente que el orden no importa y que podemos tener cartas repetidas (por ejemplo, dos
caballos de oros).
El objetivo de la Combinatoria es calcularcu´ntos tipos de muestras de un determinado tama˜o
a
n
se pueden extraer de cierta poblaci´n. El resultado en el que nos basaremos a la hora de calcular el
o
n´mero de muestras es el siguiente:
u
Principio de multiplicaci´n:
o
Si un procedimiento se puede separar en r etapas, de modo que el resultado de una de ellas no influye
en el resultado de las otras, y en cada una de estas etapas...