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Mec´nica de Medios Continuos: a ´ Resumen de Algebra y C´lculo a Tensorial
Jos´ M.a Goicolea Ruig´mez, e o
´ Depto. de Mecanica de Medios Continuos y Teor´ de Estructuras, ıa ´ Universidad Politecnica de Madrid

8 de octubre, 2002

´ Indice
´ 1. Algebra vectorial y tensorial 1.1. Escalares, puntos y vectores . . . . . . . . . . . . 1.2. Producto escalar y vectorial . . . . . . . . . . . .1.3. Bases y coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Tensores de orden dos . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Operaciones y clases especiales de tensores . . . . 1.6. Cambio de coordenadas de un tensor . . . . . . . 1.7. Coeficientes de permutaci´n . . . . . . . . . . . . o 1.8. Formas bilineal y cuadr´tica asociadas a un tensor a 1.9. Vector axial asociado a un tensor hemisim´trico . e1.10. Determinante de un tensor . . . . . . . . . . . . . 1.11. Autovalores y descomposici´n espectral . . . . . . o 1.12. Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . 1.13. Descomposici´n sim´trica - hemisim´trica . . . . . o e e 1.14. Descomposici´n Polar . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.15. Tensores de orden cuatro . . . . . . . . . . . . . . 2. C´lculo vectorial y tensorial a 2.1.Derivada de un campo escalar . . . . 2.2. Derivada de un campo vectorial . . . 2.3. Divergencia, rotacional y Laplaciano 2.4. Teorema de la divergencia . . . . . . 2.5. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . 2.6. Funciones de tensores de orden dos . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 5 8 11 12 14 15 15 16 17 22 23 24 25 26 27 28 29 31 32 33

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´ Aptdo. 1. Algebra vectorial y tensorial

2

1.

´ Algebravectorial y tensorial

Se resumen aqu´ algunos conceptos y definiciones importantes de vectores ı y tensores, con pretensi´n de sencillez y brevedad. En consecuencia, nos limio taremos al espacio Eucl´ ıdeo ordinario E3 y a coordenadas cartesianas. Para un tratamiento m´s completo se recomienda consultar otros textos1 . a

1.1.

Escalares, puntos y vectores

En lo que sigue trataremos de losescalares (n´meros reales R), de los u 3 puntos (espacio (afin) geom´trico ordinario E ), y de los vectores asociados e (espacio vectorial eucl´ ıdeo V de dimensi´n 3). o Los elementos α ∈ R se denominan escalares y pueden considerarse como tensores de orden cero, como justificaremos m´s adelante. a Los elementos A ∈ E3 se denominan puntos. El segmento orientado con origen en un punto A y final enotro B se denomina vector : B v A Figura 1: Vector entre dos puntos A y B − → v = AB = B − A;

A + v = B.

(1)

El conjunto de los vectores, junto con las operaciones de suma de vectores mediante la regla del paralelogramo y producto por un escalar tiene la estructura de espacio vectorial eucl´deo, denomin´ndose V, espacio vectorial ı a 3 asociado a E . Esquem´ticamente, las propiedadesaxiom´ticas del espacio vectorial, paa a
J. Rodr´ ıguez Pi˜ero: Tensores y geometr´ diferencial, 1998; D.A. Danielson: vectors n ıa and tensors in engineering, 1991; G.E. Hay: Vector and tensor analysis, 1953.
1

1.2 Producto escalar y vectorial u v u+v u v v+u

3

Figura 2: Regla del paralelogramo para la suma de vectores: A + (u + v) = (A + u) + v; comprobamos la conmutatividad, u + v = v + ura elementos a, b, c ∈ V y λ, µ ∈ R, son a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c), ∃0 | a + 0 = a, ∃(−a) | a + (−a) = 0; λ(a + b) = λa + µb, (λ + µ)a = λa + µa, λ(µa) = (λµ)a, 1 · a = a.

(2)

Fijado un origen o ∈ E3 , existe una equivalencia entre puntos y vectores, → ya que cada punto x est´ asociado al vector x = − Por este motivo en a ox. ocasiones emplearemos la notaci´n x para...
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