Estudio catenaria

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1 – ESTATICA DE HILOS.

El estudio del tema nos ha permitido conocer conceptos de cuerpos funiculares o hilos definidos como sólido deformable cuyasección tiene dimensiones despreciables comparadas con su longitud y que ofrece ninguna o muy pequeña resistencia a la flexión, por lo que se puede representar, en general como una línea curva.. dicho de otra forma, Sólo pueden adoptar configuraciones de equilibrio tales que dichas secciones sólo están sometidas a esfuerzos de tracción. Son esta clase de hilos, las correas, los cables y las cadenas.Para el estudio del equilibrio se estos cuerpos se ha hecho la hipótesis de que en la posición d equilibrio se transforman en cuerpos rígidos. Esto es lo que constituye el principio de solidificación (no tienen alargamientos al ser sometidos a tracción). Si en virtud de este principio tales cuerpos se comportan como rígidos en su posición de equilibrio podemos afirmar que las fuerzasexteriores que los solicitan, deben de cumplir las condiciones generales de equilibrio:

( F = 0

( M0 = 0

Fds + dT = 0 ecuación vectorial de equilibrio del hilo

dr ∧ T = 0

asimismo se llega a la conclusión de que la tensión en cada punto es tangente a la configuración de la curva de equilibrio del hilo.

Si la fuerza F es constantemente paralela a una dirección fija dada u, se llega aconclusión que la tensión T y le vector u están en el mismo plano, es decir que la curva de equilibrio es plana.

Si la fuera F es perpendicular a una dirección fija u, se llega a la conclusión de que la proyección de la tensión T sobre la dirección dada es constante.

Si la fuerza F es central, es decir, que pasa constantemente por un pinto fijo O, se llega asimismo a la conclusión de que lacurva de equilibrio es plana

La figura de equilibrio de un hilo apoyado sobre una superficie lisa, y solamente sometido a las tensiones de sus extremos es una línea geodésica de la superficie.

Las ecuaciones intrínsecas cartesianas del equilibrio de un hilo nos permiten conocer la tensión del hilo en cualquier punto en función solamente del potencial de la fuerza unitaria. Es decir, quela tensión depende solo del punto considerado y no de la forma que adopta la curva al pasar por dicho punto.

[pic]; [pic]; [pic];

[pic]= 1

Sistema de cuatro ecuaciones que una vez integradas, darán la ecuación de la curva de equilibrio en función de s, y el valor de la tensión T.

Aplicando a un hilo sometido a una carga vertical continua para unos ejes cartesianos con el origen O en elpunto más bajo del hilo, la ecuación sería:

[pic]

[pic]

Finalmente si consideramos que la carga es la de su propio peso y referida a los ejes OX2Y

[pic]

A partir de aquí podemos determinar:
La longitud de arco de una catenaria
La catenaria que pasa por dos puntos fijos situados a la misma altura
La catenaria que pasa por dos puntos a diferente altura.

Asimismo se ha...
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