Estudio de la linea recta

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ESTUDIO DE LA LÍNEA RECTA

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Específicamente nos referiremos al estudio de la distancia entre dos puntos ubicados en cualquiera de los cuatro cuadrantes de un plano de coordenadas. Veamos la siguiente figura:

Sobre la recta A localizamos dos puntos P1 y P2 con sus respectivas coordenadas sobre el eje x y el eje y. Se trata de hallar la distancia (d) entre los puntosP1 y P2.
Para lo cual se utiliza el teorema de Pitágoras. Observemos que el valor de cada uno de los catetos del triángulo rectángulo que se ha formado es posible hallarlos realizando la diferencia entre las distancias respectivas. Para nuestra gráfica, la distancia d, representa la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Entonces, aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el valor de ladistancia:

Siendo ésta la fórmula entre dos puntos cualesquiera en un plano coordenado

EJEMPLO 1:
Hallar la distancia entre los puntos de coordenadas (3, 4) y (5, 0).
Para el desarrollo digamos que:

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Observemos la figura:

En la figura se observa que el punto medio entre P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es el punto de coordenadas P(x, y), donde por semejanza detriángulos se Determina las coordenadas para el este punto.

Entonces, diremos que si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son los extremos de un segmento comprendido entre los dos puntos, entonces las coordenadas del punto medio P(x, y) están dadas por:

PENDIENTE DE LA LÍNEA RECTA
La pendiente de una línea recta es el grado de inclinación de la recta respecto al eje x del plano cartesiano. Analicemos lasiguiente gráfica:

El valor de la tangente no es sino el ángulo o grado de inclinación que tiene la recta A, sobre el eje x. A este ángulo de inclinación lo llamamos pendiente de la línea recta y se denota por la letra m.
Teniendo:

Teniendo en cuenta los conceptos de pendiente, se enuncian las siguientes consideraciones:
* Si una recta es paralela al eje de coordenadas x, entonces y2 = y1 ysu pendiente será igual a cero, porque Tg q = 0.
* Si una recta es paralela al eje de coordenadas y, entonces x2 = x1 y su pendiente será indefinida.
* Si la dirección de la recta tiene un ángulo de inclinación menor de 90° (agudo) entonces podemos afirmar que la pendiente de la recta es positiva, porque la tangente de un ángulo agudo es positiva.
* Si la dirección de la recta tieneun ángulo de inclinación mayor de 90° (obtuso), entonces podemos afirmar que la pendiente de la recta es negativa, porque la tangente de un ángulo es negativa.

EJEMPLO 2: Hallar la pendiente (m) y el ángulo de inclinación ɵ de la recta que une los puntos P1 (1,3) y P2 (4,6)

Se sabe que la pendiente de una recta viene dada por la fórmula:

Luego la pendiente de la recta es: m =1

Ahoraampliemos un poco el concepto de pendiente. Hemos expresado en capítulos anteriores que la ecuación general de una línea recta está dada por:
Y = m x + b

Donde
m = pendiente de la recta.
b = término independiente o punto donde la recta corta al eje y.

Así por ejemplo, en una ecuación que viene dada por la fórmula
y = 4x – 2

Se puede destacar que el valor de la pendiente es igual a 4,y que el punto por donde la recta corta el eje de coordenadas y es -2. Realizando la gráfica de la recta se puede demostrar esto fácilmente. Para realizar la gráfica correspondiente es preciso que a partir de la ecuación se le den valores arbitrarios a la variable independiente x, para hallar los valores de la variable dependiente y. Elaborando la tabla de valores:
Si se toma ahora dos puntosdiferentes de la tabla de la tabla de valores, por ejemplo:
P1 (1,2) Y P2 (2,6), Y se aplica la fórmula para hallar la pendiente se tiene:

ECUACIÓN PUNTO - PENDIENTE
Como su nombre lo indica la fórmula para la ecuación punto-pendiente nos relaciona un punto de la recta que satisface la ecuación y la pendiente de la misma. Sea la figura:

Si sobre una recta A de pendiente m que pasa por un...
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