Estudio de tiempos

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DISTRIBUCIÓN GAMMA

Es un modelo básico en la teoría estadística.

Definición
Una variable aleatoria continua X tiene distribución Gamma si su densidad de probabilidad está dada por
[pic](>0, (>0 son los parámetros para este modelo .

[pic]
Fig. G1. Gráfico de la distribución Gamma para algunos valores de (, (
((() es la función Gamma:[pic]
Si ( es un entero positivo, entonces

((() = (( - 1)! .

Demostración
[pic]
u = x(-1 ( du= ((-1)x(-2 dx Para integrar por partes
dv = e-x dx ( v = -e-x

Se obtiene
[pic]= (( - 1)((( - 1)
Sucesivamente
((() = (( -1)((-2)((-3)...((1), pero ((1) = 1 por integración directa.MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA

( = E[X] = ((, (2 = V[X] = ((2 .

Demostración para (
( = [pic]= [pic]=[pic]
Mediante la sustitución y = x/(
( = [pic]
=[pic]
Con la definición de la función Gamma:
=[pic]= [pic]

Ejemplo
El tiempo en horas que semanalmente requiere unamáquina para mantenimiento es una variable aleatoria con distribución gamma con parámetros (=3, (=2
a) Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horasb) Si el costo de mantenimiento en dólares es C = 30X + 2X2, siendo X el tiempo de mantenimiento, encuentre el costo promedio de mantenimiento.

Solución
Sea X duración del mantenimiento en horas(variable aleatoria)
Su densidad de probabilidad es:
f(x) =[pic]

a) P(X>8) es el área resaltada en el gráfico
[pic]
P(X>8) = 1 – P(X(8) = 1 - [pic]
Para integrar se puedenaplicar dos veces la técnica de integración por partes:
[pic],
u = x2 ( du = 2x dx
dv = e-x/2 dx ( v = -2 e-x/2
= -2x2 e-x/2 + 4[pic]
[pic]
u = x ( du = dx
dv =...
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