euaciones

Las f´ormulas de Cardano-Ferrari
Carlos Ivorra
(http://www.uv.es/ivorra)

Los m´etodos de resoluci´
on por radicales de las ecuaciones polin´omicas de tercer y
cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente in´
utiles que est´a feo que un
matem´
atico no conozca. Como es bien sabido, si K es un cuerpo de caracter´ıstica distinta
de 2 y a, b, c ∈ K, con a 6= 0, las soluciones dela ecuaci´on cuadr´atica
ax2 + bx + c = 0
en una clausura algebraica de K vienen dadas por
√
−b ± b2 − 4ac
x=
,
2a
entendiendo que la ecuaci´on tiene una u
´nica ra´ız doble x = −b/2a cuando se anula el
discriminante D = b2 − 4ac.
Tambi´en es conocido que Tartaglia y Cardano encontraron una f´ormula an´aloga para
ecuaciones c´
ubicas (en la que aparecen ra´ıces c´
ubicas adem´as dera´ıces cuadradas) y que
Ferrari encontr´o otra m´as compleja para ecuaciones cu´articas. En realidad, m´as que
f´ormulas, encontraron m´etodos de resoluci´
on que pueden resumirse en sendas f´ormulas,
si bien, en el caso de las ecuaciones cu´articas, la f´ormula es tan compleja que resulta
inmanejable, y es preferible describir el proceso de resoluci´
on como un algoritmo de varios
pasos.Por u
´ltimo, Abel demostr´
o que, para n > 4, no existen f´ormulas an´alogas que
expresen las ra´ıces de la ecuaci´on general de grado n en funci´on de sus coeficientes a trav´es
de sumas, productos, cocientes y extracci´
on de ra´ıces, lo que convierte a las f´ormulas de
Cardano-Ferrari en dos singularidades algebraicas.
Los resultados de Cardano-Ferrari llevaron al descubrimiento y alestudio de los
n´
umeros complejos. En principio, los algebristas trataban de resolver ecuaciones con
coeficientes reales (normalmente racionales), pero tales ecuaciones pueden tener soluciones imaginarias. Ciertamente, para encontrar ejemplos sencillos de esta situaci´
on no
es necesario buscar entre ecuaciones c´
ubicas o cu´articas, sino que modestas ecuaciones
cuadr´aticas sirvenigualmente. Ahora bien, las ecuaciones cuadr´aticas con discriminante
negativo no “induc´ıan” a buscarles ra´ıces imaginarias, ya que lo m´as natural era concluir
que no tienen soluci´on, y eso zanjaba el problema. En cambio, cuando una ecuaci´on c´
ubica
tiene tres ra´ıces reales distintas —que pueden ser conocidas si uno “se la construye” para
verificar la f´ormula de Cardano— resulta que ´estaproporciona expresiones para dichas
1

ra´ıces en la que aparecen ra´ıces cuadradas de n´
umeros negativos. Fue esto lo que indujo a los matem´
aticos a plantearse que tal vez fuera posible operar coherentemente con
cantidades “imaginarias” de manera que, simplificando las expresiones imaginarias que
proporciona la f´ormula de Cardano, se pudiera llegar finalmente a las soluciones reales dela ecuaci´on.
Antes de entrar en materia puede ser ilustrativo recordar la forma en que puede deducirse la f´ormula para las ecuaciones cuadr´aticas. En primer lugar, podemos expresar la
ecuaci´on en la forma
b
c
x2 + x + = 0.
a
a
Esto hace que no perdamos generalidad si suponemos a = 1, simplificaci´
on que ser´a
u
´til en el caso c´
ubico y cu´artico, pero que, dada la sencillez delcaso cuadr´atico, no vamos
a hacer aqu´ı. Tenemos entonces que −b/a es la suma de las dos ra´ıces de la ecuaci´on,
luego −b/2a es la media de las ra´ıces. Si hacemos el cambio de variable x = t − b/2a,
obtendremos una ecuaci´on en t cuyas ra´ıces ser´an las que resultan de restarle a cada una
de las dos ra´ıces de la ecuaci´on original la media de ambas, y esto hace que la nueva
ecuaci´ontenga ra´ıces con media (luego tambi´en con suma) igual a 0. Equivalentemente,
la nueva ecuaci´on debe tener nulo el monomio de primer grado. Comprobamos que as´ı es:
√

!2

√

!

b
b
c
b2 − 4ac
+
t−
+ = t2 −
= 0.
a
2a
a
4a2
√
Por lo tanto, las soluciones de esta ecuaci´on son t = ± b2 − 4ac/2a. Deshaciendo el
cambio de variables obtenemos la f´ormula buscada.
b
t−
2a...