Euclides

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Los “Elementos” de Euclides
por Juan Navarro Loidi (Instituto de Bachillerato a Distancia de Guipuzcoa), jnavarrolo@euskalnet.net ´

El tratado de geometr´a titulado los Elementos se cree que fue escrito alrededor ı del a˜ o 300 a. de C, por un griego llamado Euclides que ense˜ aba matem´ ticas n n a en Alejandr´a (actualmente Egipto). Pese a su antig¨ edad, su inter´ s no es s´ lo ı u e ohist´ rico. Hoy en d´a todav´a se nota su influencia en los manuales de matem´ ticas. o ı ı a Adem´ s, sigue siendo una referencia obligada cuando se discute sobre el origen de a determinados conceptos en geometr´a o en teor´a de n´ meros, o cuando se escribe ı ı u sobre axiomatizaci´ n o l´ gica matem´ tica. o o a El t´tulo “Elementos” resume bien el contenido de la obra. La palabra “Elemento” ı (στoιξεια) ten´a dos significados en Grecia, como explicaba Proclo de Licia (siglo ı V): “El Elemento se compone de dos modos, como dice Menecmo, porque lo que construye es el elemento de lo construido [...]. / Tambi´ n se dice, adem´ s, que elemento es lo m´ s sencillo en que se resuelve lo e a a complejo, siendo elementos las cosas m´ s primitivas que se establecen para un a resultado” [Fuente1 :Vera, 1970, v. II p.1159/1160].
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Las referencias completas de los libros citados se encuentran al final en la bibliograf´ ıa.

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Los elementos de Euclides

Estos dos sentidos que daba Proclo a la palabra “elemento” vienen a coincidir con las dos acepciones que tiene ese t´ rmino actualmente en castellano. Los elementos e son los conocimientos b´ sicos que sirven para construir unateor´a cient´fica. Son por a ı ı lo tanto los fundamentos de una rama del saber humano. Pero, al mismo tiempo, en espa˜ ol, una cuesti´ n elemental es una informaci´ n sencilla que se supone conocida n o o por todo el mundo. En estas l´neas se va a describir el contenido de los Elementos y se va a comentar la ı forma en la que se introducen las distintas materias. Se mencionar´ n tambi´ n algunasa e pol´ micas que ha habido sobre la correcci´ n de los planteamientos de Euclides; pero e o no se va a profundizar en ellas. Nadie les puede negar su inter´ s, pero entrar en esas e discusiones nos alejar´a del objeto de este escrito, que es sencillamente exponer lo ı que escribi´ Euclides hace veintitr´ s siglos. o e

4.1 Organizaci´ n y metodolog´a de los “Elementos” o ı
El texto de losElementos, en las versiones que se ajustan mejor al texto original, tiene las siguientes partes: Libro Defini- Proposi- Porismas Lemas Postulados Nociones ciones ciones comunes 23 2 11 7 18 3 22 0 0 16 28 0 0 130 48 14 37 16 25 33 39 27 36 115 39 18 18 465 0 0 1 1 2 3 1 1 1 4 1 2 2 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 1 2 3 17 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5

I II III IV V VI VII VIII IXX XI XII XIII

Total

Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003 ıa

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Es decir, se divide en trece cap´tulos, llamados “libros”, que se diferencian entre s´ por ı ı su contenido. Los seis primeros estudian la geometr´a del plano. Los tres siguientes ı tratan de la teor´a de n´ meros. El libro d´ cimo es sobre los inconmensurables, o ı u e irracionales y los tres ultimos son sobre la geometr´adel espacio. ´ ı Cada libro est´ dividido en apartados que pueden ser de seis tipos diferena tes: definiciones, proposiciones, porismas, lemas, postulados y nociones comunes. Antes de comenzar a detallar el contenido de esos trece libros conviene precisar lo que significan esos t´ rminos. e

Definiciones
Una definici´ n es una frase que sirve para introducir un concepto matem´ tico. En o a ella,normalmente, se define la nueva noci´ n relacionando unos t´ rminos m´ s geneo e a rales ya definidos. Por ejemplo, en el libro primero se puede leer: “20. De las figuras tril´ teras, el tri´ ngulo equil´ tero es el que tiene los tres lados a a a iguales; el is´ sceles el que tiene dos lados iguales y uno desigual; y el escaleno, el o que tiene los tres lados desiguales2 ”. En esta definici´ n se...
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