Euler

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Metodo Euler mejorado

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.
La fórmula es lasiguiente:

Donde

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:


En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde ala pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto donde es la aproximación obtenida con laprimera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como la aproximación deEuler mejorada.

Metodo de Runge-Kutta

El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrolladoalrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Los métodos de Runge-Kutta logran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadassuperiores. Existen muchas variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación:
yi + 1 = yi + φ(xi,yi,h)h

Donde φ(xi,yi,h) es conocida como función incremento, la cual puedeinterpretarse como una pendiente representativa sobre el intervalo.


Donde las a son constantes y las k son:
k1 = f(xi,yi)
k2 = f(xi + p1h,yi + q11k1h)
k3 = f(xi + p2h,yi + q21k1h + q22k2h)Observe que las k son relaciones de recurrencia, esto es, k1 aparece en la ecuación para k2, la cual aparece en la ecuación para k3, etc.
Como cada k es una evaluación funcional, esta recurrenciahace que los métodos Runge-Kutta sean eficientes para la programación.

Existen varios tipos de métodos Runge-Kutta al emplear diferentes números de términos en la función incremento como la...
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